【图论】最小生成树（Prim 和 Kruskal算法）

在学习最小生成树算法之前，要先了解相关知识点！

• 生成树： 一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。

• 最小生成树： 在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。

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一、普里姆算法（Prim）

算法思路：

• 首先就是从图中的一个起点a开始，把a加入U集合。

• 然后，寻找从与a有关联的边中，权重最小的那条边并且该边的终点b在顶点集合（V-U）中，把 b 也加入到集合U中，并且输出边（a，b）的信息，这样集合U就有 {a,b}。

• 接着，寻找与 a 关联和 b 关联的边中，权重最小的那条边并且该边的终点在集合（V-U）中，把 c 加入到集合U中，并且输出对应的那条边的信息，这样集合U就有 {a,b,c} 这三个元素了。

• 依次类推，直到所有顶点都加入到了集合U。

下面我们用 Prim 算法对下面这幅图求其最小生成树：

• 假设从顶点 v1 开始，可以发现（v1,v3）边的权重最小，所以第一个输出的边就是：v1—v3=1:

• 然后，从 v1 和 v3 作为起点的边中寻找权重最小的边，首先边（v1,v3）已经访问过了，所以从其他边中寻找，发现 (v3,v6) 这条边最小，所以输出边就是：v3—-v6=4

• 然后，从 v1、v3、v6 这三个点相关联的边中寻找一条权重最小的边，可以发现边 (v6,v4) 权重最小，所以输出边就是：v6—-v4=2.

• 然后，从 v1、v3、v6、v4 这四个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v3，v2）的权重最小，所以输出边：v3—–v2=5

• 然后，从 v1、v3、v6、v4，v2 这五个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以输出边：v2—–v5=3

• 最后，我们发现六个点都已经加入到集合U了，我们的最小生成树建立完成。

二、克鲁斯卡算法（Kruskal）

算法思路：

• 将图中的所有边都去掉。

• 将边按权值从小到大的顺序添加到图中，保证添加的过程中不会形成环

• 重复上一步直到连接所有顶点，此时就生成了最小生成树。这是一种贪心策略。

下面我们用 Kruskal 算法对下面这幅图求其最小生成树：

• 首先从这些边中找出权重最小的那条边，可以发现边（v1，v3）这条边的权重是最小的，所以我们输出边：v1—-v3=1
  
  
  

• 然后，我们需要在剩余的边中，再次寻找一条权重最小的边，可以发现边（v4，v6）这条边的权重最小，所以输出边：v4—v6=2

• 然后，我们再次从剩余边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以可以输出边：v2—-v5=3

• 然后，我们使用同样的方式找出了权重最小的边：（v3，v6），所以我们输出边：v3—-v6=4

• 我们还需要找出最后一条边就可以构造出一颗最小生成树，但是这个时候我们有三个选择：（v1,V4），（v2，v3），（v3，v4）,这三条边的权重都是5，首先我们如果选（v1，v4）的话，得到的图如下：

• 我们发现，这肯定是不符合我们算法要求的，因为它出现了一个环，所以我们再使用第二个（v2，v3）试试，得到图形如下：

• 我们发现，这个图中没有环出现，而且把所有的顶点都加入到了这颗树上了，所以（v2，v3）就是我们所需要的边，所以最后一个输出的边就是：v2—-v3=5

三、例题

原题链接：还是畅通工程

思路： 最小生成树模板题。

Prim 做法：

// 很神奇，用Prime來做，java就可以过

import java.util.Scanner;

public class Main {
	static int N = 105, INF = 0x3f3f3f3f;
	static int n, m;
	static int[] dis = new int[N];	// dis[i]表示i点到生成树集的最短距离
	static boolean[] vis = new boolean[N];
	static int[][] e = new int[N][N];

	static int Prime() {
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			dis[i] = e[1][i];	// 初始为1到其他顶点距离
		}
		dis[1] = 0;
		vis[1] = true;	// 将用过的点标记，避免重复访问
		int ans = 0;

		for (int i = 1; i < n; i++) {	// 进行n-1次操作
			int minn = INF;
			int pos = 1;	// 记录最小权值的顶点
			for (int j = 1; j <= n; j++) {	// 在未加入点中，找到一个最小的权值
				if (!vis[j] && minn > dis[j]) {
					minn = dis[j];
					pos = j;
				}
			}
			if (minn == INF)	// 不是连通图
				break;
			vis[pos] = true;	// 将加入点进行标记
			ans += minn;	// 加边权
			for (int j = 1; j <= n; j++) {	// 在未加入点中找到与此点相连的权值最小的边
				if (!vis[j] && dis[j] > e[pos][j])
					dis[j] = e[pos][j];
			}
		}
		return ans;
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		while (sc.hasNext()) {
			for (int i = 1; i <= 101; i++)
				vis[i] = false;
			n = sc.nextInt();
			if (n == 0)
				break;
			m = n * (n - 1) / 2;
			for (int i = 1; i <= m; i++) {
				int u = sc.nextInt(), v = sc.nextInt(), w = sc.nextInt();
				e[u][v] = e[v][u] = w;
			}
			System.out.println(Prime());
		}
	}
}

Kruskal 做法：

//c++做法，能AC

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 105;
int n,m,f[N];// f[i]表示第i点的祖先
struct node{
    int u,v,w;
}e[N*N];    //定义边
bool cmp(node a,node b){
    return a.w < b.w;
}
int find(int u){
    return f[u]==u?u:find(f[u]);
}
int kruskal(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i] = i;   //初始化，开始时每个村庄都是单独的集
    sort(e+1,e+m+1,cmp);   
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int fu = find(e[i].u);  //边的前端点所在的集合
        int fv = find(e[i].v);  //边的后端点所在的集合
        if(fu != fv){   //不在同一个集合，代表加入此边不会形成一个环
            f[fu] = fv; //合并
            ans+=e[i].w;
        }
    }
    return ans;
}
int main() {
    while(cin>>n && n) {
        m = n*(n-1)/2;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
        }
        cout<<kruskal()<<endl;
    }
    return 0;
}

//Java做法，会TLE，估计这道题专门卡点了吧

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

class node implements Comparable<node> {
	int u, v, w;

	node() {
	};

	public node(int u, int v, int w) {
		this.u = u;
		this.v = v;
		this.w = w;
	}

	public int compareTo(node a) {
		return this.w - a.w;
	}
}

public class Main {

	static int n, m;
	static node[] a = new node[100100];
	static int[] f = new int[100100];

	static int find(int u) {
		return f[u] == u ? u : find(f[u]);
	}

	static int kruskal() {
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			f[i] = i;
		}
		Arrays.sort(a, 0, m);
		int ans = 0;
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			int fu = find(a[i].u);
			int fv = find(a[i].v);
			if (fu != fv) {
				f[fu] = fv;
				ans += a[i].w;
			}
		}
		return ans;
	}

	public static void main(String[] args) {

		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		while (sc.hasNext()) {
			n = sc.nextInt();
			if (n == 0)
				break;
			m = n * (n - 1) / 2;
			for (int i = 0; i <= 100010; i++)
				a[i] = new node();
			for (int i = 1; i <= m; i++) {
				a[i] = new node(sc.nextInt(), sc.nextInt(), sc.nextInt());
			}
			System.out.println(kruskal());
		}

	}

}

参考：数据结构–最小生成树详解