2018-10-13

线性代数Review

多元函数极值

• 运筹学正好遇到，各阶偏导为0之后还要看泰勒展开的高阶项，（当首个非零为 奇数/偶数 阶）

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二次型

• 二次型的定义(只有二阶的项)
• (任意域上的线性空间)与(n维向量空间)之间由一组基建立 同构映射
• 两组基之间的 过度矩阵: (新基=旧基 * P, 新基表示为旧的的线性组合,右边乘是因为是列变换(列的线性组合,这里基是列向量) )
  
  两组基下的 坐标变换公式 :(旧的坐标=P * 新的坐标[unknow],(这里坐标都是列向量,**左边乘是行变换,行的线性组合) )
  
• 二次型的标准型 (变量的平方和形式,有加有减)
• 定理: 任何二次型可以配方法化为标准型,通过一可逆线性变换
• 配方法在没有平方项时要先代换出平方项
• 二次型的规范型(加减平方项的系数都是1)
• 二次型的几何
• 一个对称方阵就对应一个二次型 !!!

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对称方阵的相合

• 定义 :二次型的矩阵(对称阵)
• 定义: 对于n阶方阵A,B, 存在n阶可逆方阵, 使得 ,则A,B相合
• 相合可以传递
• 对称方阵相合的仍然是对称方阵,反对称类似
• 有限维度线性空间上的一个二次型在两个不同基下的矩阵是相合的.
  二次型里面的之类的,就是代表在一组基里面各个基元的系数值,即 xyz变量代表某组基下的坐标变量
  可以认为是一个n维几何图形在该基下的方程的系数
• 对称方阵的相合对角化算法,行变化,列变换 最终
• 对任何n阶对称方阵,存在n阶可逆方阵P,使 为对角阵,且对角元可以按任意顺序排列!
• 对于实数域上的任意n阶对称方阵,存在n阶实可逆方阵:
  其中
  上面式子称为 实对称阵 的 相合规范型

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未完待续#