stata:数据包络分析（DEA）简明教程

数据包络分析（DEA）是是由美国著名运筹学家 A.Charnes（查恩斯）、W.W.Cooper（库铂）、E.Rhodes（罗兹）于 1978 年首先提出，在相对效率评价概念基础上发展起来的一种非参数检验方法。此文章主要介绍如何在stata中进行DEA分析以及进行boostrap检验，用到的命令为tenonradial，teradialbc等。需要说明的是，尽管此命令的运算速度与矩阵的最大处理量要优于dea命令，但是其仍有一些限制。

DEA模型简介

技术效率的概念

在数据包络分析中，技术效率是指一个生产单元（DMU）的生产水平达到该行业技术水平的程度。技术效率可以从投入和产出两个角度来衡量，在投入既定的情况下，技术效率由产出最大化的程度来衡量。在产出既定的情况下，技术效率由投入最小化的程度来衡量。当然，在计算TFP的过程中，一般都是投入既定的。
下面举一个一种投入一种产出时的例子，来帮助我们理解技术效率的概念。

单位	$x$（投入）	$y$（产出）	$y/x$	$y/x$(标准化)
A	2	1	0.5	0.625
B	3	2	0.667	0.533
C	4	3	0.75	0.938
D	5	4	0.8	1.00
E	5	2	0.4	0.5

在此表中，$y/x$反应各个生产单元技术效率的高低，$y/x$(标准化)是将各单元的$y/x$除以其中的最大值。这样就是为了更好的比较这一数值。
当涉及多个产出时，就会对各个投入与产出赋予一定的权重，然后分别加权，计算产出投入比。如：
$$v=v_1{x}_1+v_2{x}_2+...+v_n{x}_n$$
$$u=u_1{y}_1+u_2{y}_2+...+u_n{y}_n$$
则产出投入比为$u/v$
数据包络分析就是在讨论如何通过数据本身来获得权重，从而计算各个DMU的技术效率。

径向距离模型

此命令径向效率的度量方法采用的是Debreu–Farrell(Debreu 1951; Farrell 1957)方法。假设有$k$个$DMU$。对于$DM{U}_K$，有$N$种投入，记为$x_k=（x_{k1},...,x_{kN})\in R^N$,有$M$种产出，记为$y_k=（x_{k1},...,x_{kM})\in R^M$。然后我们假设在技术条件$T$下产出$y$由投入$x$产出，数学表达为：
$$T=\{(x,y):yareproduciblebyx\}$$
那么在科技$T$下，生产可能集表示为：
$$P(x)=\{y:(x,y)\in T\}$$
投入的需求集表示为：
$$P(y)=\{x:(x,y)\in T\}$$
以生产可能集为例，技术效率就表示为，某个给定数据点与生产可能集边界的距离。若以DEA模型来测量此种技术效率从，则对于$k$个$DMU$，每个$DMU$有$N$种投入，$M$种产出的数据集来说。Debreu–Farrell(Debreu 1951; Farrell 1957)的以产出为导向的估计方法，可以通过下述线性规的方程式来表示，对于每一个数据点$k(k=1,2,3...K)$
$$\begin{gathered} F_k^o(y_k,x_k,y,x|CRS)=max\theta \\ s.t.\sum _{k=1}^K{z}_k{y}_{km}\ge y_{km}{\theta }_m,m=1,...,M \\ \sum _{k=1}^K{z}_k{x}_{kn}\le x_{kn}{\theta }_n,n=1,...,N \\ {z}_k\ge 0 \end{gathered}$$
其中$y$是一个$K\times M$的产出矩阵，$x$是一个$K\times N$的投入矩阵。估计$P(x)$是最小的包围面（smallest convex free-disposal hull ）。上述线性规划求解的是规模报酬不变（CRS）的技术效率。在其他关于规模报酬的假设下，只需改变$z_k$的约束，例如规模报酬可变（VRS），设置${\sum }_{k=1}^K{z}_k=1$即可。

非径向效率模型

此命令的非径向效率测量方法是Russell（Färe and Lovell 1978;
Färe, Grosskopf, and Lovell 1994a）法。则对于以产出为导向的非径向量度定义为：
$$R{M}_k^o(y_K,x_K,y,x|CRS)=max\{M^{-1}\sum _{m=1}^M{\theta }_m:({\theta }_1{y}_{k1},...,{\theta }_m{y}_{km}\in P(x),{\theta }_m\ge 0,m=1,...M)\}$$
其线性规划方程式定义为：
$$\begin{gathered} R{M}_k^o(y_K,x_K,y,x|CRS)=M^{-1}max\sum _{m=1}^M{\theta }_m \\ s.t.\sum _{k=1}^K{z}_k{y}_{km}\ge y_{km}{\theta }_m,m=1,...,M \\ \sum _{k=1}^K{z}_k{x}_{kn}\le x_{kn}{\theta }_n,n=1,...,N \\ {z}_k\ge 0 \end{gathered}$$

对径向模型使用Boostrap进行假设检验

主要介绍此命令规模收益的两个假设检验，首先是：
$$\begin{gathered} Test\ne 1:H_0:TisgloballyCRS \\ {H}_1:TisVRS \end{gathered}$$
如果假设$H_0$被拒绝，则可以进行下述假设检验：
$$\begin{gathered} Test\ne 2:H_0^{\prime }:TisgloballyNIRS \\ {H}_1:TisVRS \end{gathered}$$
也是就是说先查看此技术条件下是否是规模报酬不变的，若不是再看是否是NIRS（Non-Decreasing Returns to scale）的。

stata命令的实现

tenonradial命令

tenonradial使用非径向模型RM估计技术效率，语法详情：
tenonradial outputs = inputs [(ref outputs = ref inputs)] [if] [in] [,rts(rtsassumption) base(basetype) reference(varname) tename(newvar) noprint]
其中
output是产出变量
input是投入变量
ref outputs是产出变量的个数
ref inputs是投入变量的个数
rts(rtsassumption)指定规模收益假设，有CRS,VRS,NIRS三种
base(basetype) 设置最优化的方向，即面向产出base(output)，面向投入base(input)
reference(varname)设定技术参考集
tename(newvar)产生newvar，其包含非径向测量的技术效率。
noprint 取消估算详细信息，数据描述和参考集。

teradialbc命令

teradialbc命令使用径向模型估计技术效率，语法详情：
teradialbc outputs = inputs [(ref outputs = ref inputs)] [if] [in] [,rts(rtsassumption)base(basetype) reference(varname) subsampling kappa(#) smoothed heterogeneous reps(#) level(#) tename(newvar) tebc(newvar) biasboot(newvar) varboot(newvar) biassqva(newvar)telower(newvar) teupper(newvar) noprint nodots]
其区别主要在于Boostrap部分，详细内容参见help teradialbc

teradialbc命令的函数支持

stata需要已下载kdens bw()与mm quantile()

nptestind命令

nptestind进行独立性检验

nptestrts命令

nptestrts进行规模收益检验

实例应用

数据来源于Charnes, Cooper, and Rhodes (1981)，并人为的产生一个新变量dref来说明新命令的功能

set seed 717117
use ccr81
generate dref = x5 != 10
teradial y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(crs) base(output) reference(dref) tename(TErdCRSo)
teradial y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(nirs) base(output) reference(dref) tename(TErdNRSo) noprint
teradial y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(vrs) base(output) reference(dref) tename(TErdVRSo) noprint
tenonradial y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(crs) base(output) reference(dref) tename(TEnrCRSo) noprint
tenonradial y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(nirs) base(output) reference(dref) tename(TEnrNRSo) noprint
tenonradial y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(vrs) base(output) reference(dref) tename(TEnrVRSo) noprint
list TErdCRSo TErdNRSo TErdVRSo TEnrCRSo TEnrNRSo TEnrVRSo in 1/7

分别使用径向与非径向模型测量三种规模收益状况下的技术效率。
接下来使用nptestind进行boostrap检验

matrix testsindpv = J(2, 3, .)
matrix colnames testsindpv = CRS NiRS VRS 
matrix rownames testsindpv = output-based input-based
nptestind y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(crs) base(output) reps(999) alpha(0.05)
matrix testsindpv[1,1] = e(pvalue)
nptestind y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(nirs) base(output) reps(999) alpha(0.05) noprint
matrix testsindpv[1,2] = e(pvalue)
nptestind y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(vrs) base(output) reps(999) alpha(0.05) noprint
matrix testsindpv[1,3] = e(pvalue)
nptestind y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(crs) base(input) reps(999) alpha(0.05) noprint
matrix testsindpv[2,1] = e(pvalue)
nptestind y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(nirs) base(input) reps(999) alpha(0.05) noprint
matrix testsindpv[2,2] = e(pvalue)
nptestind y1 y2 y3 = x1 x2 x3 x4 x5, rts(vrs) base(input) reps(999) alpha(0.05) noprint
matrix testsindpv[2,3] = e(pvalue)
matrix list testsindpv

P值结果如下：

                    CRS       NiRS        VRS
output-based  .06906907  .25625626  .04804805
 input-based  .03703704    .001001  .23323323

Malmquist指数

Malmquist指数的计算与分解公式此处不再列出，只是用程序来举例

use pwt56, clear
reshape wide y k l, i(nu country) j(year)
teradial y1965 = k1965 l1965 (y1965 = k1965 l1965), rts(crs) base(output) tename(F11) noprint
teradial y1990 = k1990 l1990 (y1965 = k1965 l1965), rts(crs) base(output) tename(F21) noprint
teradial y1965 = k1965 l1965 (y1990 = k1990 l1990), rts(crs) base(output) tename(F12) noprint
teradial y1990 = k1990 l1990 (y1990 = k1990 l1990), rts(crs) base(output) tename(F22) noprint
generate mpi = sqrt(F12 / F22 * F22 / F21)
generate effch = F11 / F22
generate techch = mpi / effch

PS：文章中所用到的学习资料为《数据包络分析方法与MaxDea软件》与文章“Nonparametric frontier analysis using Stata
”，此资料可在我的公众号“肖夕木的自习室”中回复dea获取。至于文中的数据文件可以自行在stata上下载，当然，在我的dea学习资料中也有包含。