关于相关系数的一些理解误区

关于相关系数的一些理解误区，这篇文章 讲的很好，正如这个网站的名字mathsisfun一样，full of cases, pics and fun :)

我想补充我认为非常重要的几点：

一般我们讲的相关系数，其实叫 皮尔逊相关系数，学名 皮尔逊积差系数（Pearson's product moment coefficient）

In statistics, the Pearson product-moment correlation coefficient is a measure of the linear correlation (dependence) between two variables X and Y, giving a value between +1 and −1 inclusive, where 1 is total positive correlation, 0 is no correlation, and −1 is total negative correlation. It is widely used in the sciences as a measure of the degree of linear dependence between two variables. 

--from wiki

计算公式如下：

注意红色标注的"linear", 我想强调的是：

这里的相关系数只是用来衡量两个变量线性相关程度的指标；

也就是说，你必须先确认这两个变量是线性相关的，然后这个相关系数才能告诉你他俩相关程度如何

反之不成立：

• 比如你先算出相关系数=0.9，就下结论说两个变量线性相关是不对的，甚至说两个变量相关（有某种更复杂的关系）也是不对的（见：case 1）
• 另外，如果算出来相关系数=0，下结论说两个变量不是线性相关是ok的，但说他们完全不相关就得小心了，很有可能不对（见：case 2）。

case 1:

Four sets of data with the same correlation of 0.816

The image on the right shows scatterplots of Anscombe's quartet, a set of four different pairs of variables created by Francis Anscombe. 

--from wiki

1. 如图（右上）所示，非线性相关也会导致线性相关系数很大；
2. 好吧，你退一步，转而问：如果两个变量的相关系数很大(0.816)，那能不能说两者相关呢？ 答案还是不能，为什么？ 因为如图（右下）所示，很可能是一个离群点（outlier）导致了相关系数变得很大。
3. 这也不能那也不能，那怎么办？（你一定要画出图来看才行，后面会深入解释）

case 2:

上图的相关系数计算结果为0，但你能说冰激凌的销量和温度不相关吗？ 

所以， pearson correlation coefficient = 0只能说不是线性相关，但说不定会有更复杂的相关关系（非线性相关）

 

下面是wiki对于误解的进一步解释

“The Pearson correlation coefficient indicates the strength of a linear relationship between two variables, but its value generally does not completely characterize their relationship.”

“皮尔逊相关系数 其实是衡量 两个变量线性相关程度大小的指标，但它的值的大小并不能完全地反映两个变量的真实关系。”

如果我再罗嗦一遍你也许会就更明白了：

如果两个变量本身就是线性的关系，那么皮尔逊相关系数ok没问题，绝对值大的就是相关性强，小的就是相关性弱；

但在你 不知道 这两个变量是什么关系的情况下，即使算出皮尔逊相关系数，发现很大，也不能说明那两个变量 线性相关 ，甚至不能说他们 相关 ，你一定要 画出图来看 才行，这就是为什么我们说 眼见为实 和 数据可视化 的重要性。

大概就酱紫，你现在是不是觉得皮尔逊相关系数特没用？！（皮尔逊相关系数说：起码比某些人有用得多，哈哈）

另外，需要留意的是：

     1. 只有当两个变量的标准差都不为零，相关系数才有意义。

     2. 在实际应用中，比如协同过滤中，如果一个电影只有一个评分，相关系数也没有意义。

最后，还需要特别留意的是：

即使两个变量相关，也不代表两者有因果关系，应该牢记 【相关非因果】 ，因为：

     1. 一种情况有可能是 A导致了B和C, 你计算发现B和C相关，认为 B导致了C, 其实不是；

     2. 还有一种情况是 B和C本身毫无关系，就像文中举的“学课外课和生病的关系”的例子，但是统计发现相关系数就是很大， 这有多种可能，有可能是一个你还不知道的原因A导致B和C（如果真发现A的话，将是个很好的知识发现）, 也有可能本身就是统计出错了，所以具体问题要具体分析。

further reading:

1. 开篇那篇很有趣的文章  http://www.mathsisfun.com/data/correlation.html 

2. 关于 correlation coefficient 与 linear regression的关系 http://mathworld.wolfram.com/CorrelationCoefficient.html

3. 关于相关性大小的解释 http://mathbits.com/MathBits/TISection/Statistics2/correlation.htm