【sklearn第十一讲】随机梯度下降
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随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent, SGD)是一种简单高效的线性分类器判别学习方法。该方法针对的是凸损失函数，例如，（线性）支持向量机、Logistic回归。虽然SGD在机器学习领域已经提出了很久，但随着近年来的大规模学习它才受到重视。
SGD已经成功地应用到文本分类、自然语言处理这样的大规模和稀疏的机器学习问题里。假设数据是稀疏的，分类器很容易遭遇超过 1 0 5 10^5 105 个训练样本、 1 0 5 10^5 105 个特征这类问题。随机梯度下降的优势主要体现在：
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高效率
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易执行
它的不足包括：
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SGD需要很多超参数，例如正则参数、迭代次数。
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SGD对于特征变换是敏感的。
分类
类SGDClassifier执行一个普通的随机梯度下降程序，它支持不同的损失函数和分类惩罚。SGD必须拟合两个数组：[n_samples, n_features]数组X, 装载训练样本； [n_samples]数组Y, 装载训练样本的目标值（即，类标签）。
from sklearn.linear_model import SGDClassifier
X = [[0., 0.], [1., 1.]]
y = [0, 1]
clf = SGDClassifier(loss="hinge", penalty="l2")
clf.fit(X, y)
拟合后的模型可以用来预测新值。
clf.predict([[2., 2.]])
SGD拟合一个线性模型到训练数据上，成员coef_装载模型参数，成员intercept_装载常数项。
clf.coef_
clf.intercept_
至于模型是否应该有常数项，即，一个有偏超平面，由参数fit_intercept控制。
使用SGDClassifier.decision_function得到带符号的超平面距离。
clf.decision_function([[2., 2.]])
损失函数由参数loss设置，SGDClassifier支持下面的几种损失函数：
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loss=“hinge”: 灵活边界的线性支持向量机
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loss=“modified_huber”: 平滑的hinge损失
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loss=“log”: logistic回归
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下面所列的所有回归损失
其中，前两个损失函数是lazy的，只有当一个例子样本违反了边界约束，它才升级模型参数。这使得训练非常有效，即使使用L2惩罚也可能导致更稀疏的模型。
使用loss=“log” or loss="modified_huber"时, 能够使用predict_proba方法，它给每一个样本 x x x 一个概率估计 P ( y ∣ x ) \mathcal{P}(y | x) P(y∣x) 的向量。
clf = SGDClassifier(loss="log").fit(X, y)
clf.predict_proba([[1., 1.]])
参数penalty设置惩罚项。SGD支持以下惩罚形式：
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penalty=“l2”: 惩罚在coef_上的L2范数
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penalty=“l1”: 惩罚在coef_上的L1范数
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penalty=“elasticnet”: L1, L2的凸组合，(1 - l1_ratio) × \times × L2 + l1_ratio × \times × L1
默认设置是penalty=“l2”. L1惩罚导致稀疏解，这使得很多系数被迫为0. 弹性网格解决了L1惩罚在属性高度相关情况下的不足，参数l1_ratio控制L1, L2惩罚的凸组合形式。
SGDClassifier支持多类别分类，这是通过组合多个二值分类器在一个“one versus all” (OVA)方案里实现的。对于K个类的每一个类，学习一个二值分类器，判别属于该类还是其余K-1个类。在检验时，我们计算每一个类的置信分数，即，该类边界与超平面的带符号距离，选择具有最高分数的类。下图解释了iris数据集的OVA方法，其中的虚线代表三个OVA分类器，背景颜色代表了决策面。
在多类的分类里，coef_是一个[n_classes, n_features]二维数组，intercept_是一个[n_classes]一维数组。coef_的第i行装载第i类的权向量，类标号按升序排列。请注意，原则上，由于允许产生一个概率模型，所以loss=“log” and loss="modified_huber"更适合one-vs-all分类。
回归
类SGDRegressor执行一个普通的随机梯度下降学习程序，支持不同的损失函数和惩罚拟合线性回归模型。SGDRegressor也很适合大训练样本（>10,000）的回归问题。对于其它问题，我们推荐使用类Ridge, Lasso, ElasticNet.
损失函数由参数loss设置，SGDRegressor支持以下几种损失函数：
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loss=“squared_loss”: 普通最小二乘
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loss=“huber”: 稳健回归的huber损失
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loss=“epsilon_insensitive”: 线性支持向量回归
huber and epsilon_insensitive损失用于稳健回归。非敏感区域的宽度由参数epsilon指定。
实际应用提示
- 随机梯度下降对于特征scaling是敏感的，因此强烈建议scale数据。例如，scale输入向量X的每个属性到[0, 1]或[-1, 1], 或者标准化为0均值、1标准差。请注意，相同的scaling必须被应用到检验向量，这样才能获得有意义的结果。使用
StandardScaler很容易完成。
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(X_train) # Don't cheat - fit only on training data
X_train = scaler.transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test) # apply same transformation to test data
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使用GridSearchCV找到一个合理的正则项 α \alpha α, 范围通常在10.0**-np.arange(1,7).
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经验地，我们发现SGD收敛于观测大概 1 0 6 10^6 106 个训练样本之后。那么，一个合理的迭代数猜想是n_iter = np.ceil(10**6 / n), 这里的n是训练集样本数。
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如果你应用SGD到使用主成分提取的特征上，你会发现按下面的办法scale特征是明智的：通过某常数c, 使得训练数据的平均的L2范数等于1.
数学原理
给定一个训练样本集 ( x 1 , y 1 ) , … , ( x n , y n ) (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n) (x1,y1),…,(xn,yn), x i ∈ R m , y i ∈ { − 1 , 1 } x_i\in\mathbb{R}^m,\,y_i\in\{-1, 1\} xi∈Rm,yi∈{−1,1}, 我们的目标是学习一个线性打分函数 f ( x ) = w T x + b f(x)=w^{\mathrm{T}}x+b f(x)=wTx+b, 其中模型参数 w ∈ R m w\in\mathbb{R}^m w∈Rm, 截距项 b ∈ R b\in\mathbb{R} b∈R. 为了作预测，我们只考虑 f ( x ) f(x) f(x) 的符号。估计模型参数的一个普遍的方法是最小化正则的训练误差
E ( w , b ) = 1 n ∑ i = 1 n L ( y i , f ( x i ) ) + α R ( w ) E(w, b)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n L(y_i, f(x_i))+\alpha R(w) E(w,b)=n1i=1∑nL(yi,f(xi))+αR(w)
这里， L L L 是测量模型拟合的损失函数， R R R 是正则项，或称惩罚项，惩罚模型的复杂度。 α \alpha α 是一个非负超参数。选择不同的损失函数对应不同的分类器：
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Hinge: 灵活边界的支持向量机
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Log: Logistic回归
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Least-Squares: 岭回归
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Epsilon-Insensitive: 灵活边界的支持向量回归
以上所有损失函数都被当作错分误差的上界，如下图所示
对于正则项 R R R 的主流选择包括：
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L2范数： R ( w ) = 1 2 ∑ i = 1 n w i 2 R(w)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n w_i^2 R(w)=21i=1∑nwi2
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L1范数： R ( w ) = ∑ i = 1 n ∣ w i ∣ R(w)=\sum\limits_{i=1}^n |w_i| R(w)=i=1∑n∣wi∣, 导致稀疏解
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弹性网格： R ( w ) = ρ 2 ∑ i = 1 n w i 2 + ( 1 − ρ ) ∑ i = 1 n ∣ w i ∣ R(w)=\frac{\rho}{2}\sum\limits_{i=1}^n w_i^2+(1-\rho)\sum\limits_{i=1}^n |w_i| R(w)=2ρi=1∑nwi2+(1−ρ)i=1∑n∣wi∣, L1, L2的凸组合， ρ \rho ρ 由1 - l1_ratio指定。
SGD
随机梯度下降(SGD)是一个优化方法，主要用于无约束的优化问题。与传统的梯度下降比较，SGD近似 E ( w , b ) E(w, b) E(w,b) 的真实梯度，一次考虑一个训练样本。类SGDClassifier执行一个一阶的SGD学习程序，该算法在训练样本上迭代。对于每一个样本，根据以下公式升级参数
w ← w − η ( α ∂ R ( w ) ∂ w + ∂ L ( w T x i + b , y i ) ∂ w ) w\leftarrow w- \eta(\alpha\frac{\partial R(w)}{\partial w}+\frac{\partial L(w^{\mathrm{T}}x_i+b, y_i)}{\partial w}) w←w−η(α∂w∂R(w)+∂w∂L(wTxi+b,yi))
这里， η \eta η 是学习率，用来控制参数空间的搜索步长，或者为常数，或者逐渐减小。对于分类问题，默认的学习率learning_rate=‘optimal’, 由下式给出
η ( t ) = 1 α ( t 0 + t ) \eta^{(t)}=\frac{1}{\alpha(t_0+t)} η(t)=α(t0+t)1
这里， t t t 是时间步长，总共有n_samples * n_iter 次步， t 0 t_0 t0 由一个heuristic方法确定，它的精确定义可以在BaseSGD的_init_t里找到。
对于回归，默认的学习率learning_rate=‘invscaling’, 由下式给出
η ( t ) = e t a 0 t p o w e r _ t \eta^{(t)}=\frac{eta_0}{t^{power\_t}} η(t)=tpower_teta0
这里， e t a 0 eta_0 eta0, t p o w e r _ t t^{power\_t} tpower_t 是超参数，由用户在eta0, power_t里选择。
对于一个常数学习率，使用learning_rate=‘constant’, 由eta0指定学习率。
模型参数可以由成员coef_, intercept_访问。
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成员coef_装载权向量 w w w
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成员intercept_装载 b b b
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