2008 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

原文地址：https://zhaokaifeng.com/?p=1898

题目

曲线 $\sin (xy)+\ln (y-x)=x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为____.

解析

本题需要用到求导法则和切线方程公式的相关知识。

需要用到的求导公式有：

• $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x;$

• $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x};$

• $(ab{)}^{\prime }=a^{\prime }b+a{b}^{\prime };$

• $f^{\prime }(x)=f^{\prime }[\varphi (x)]\cdot {\varphi }^{\prime }(x).$

求导过程中另外需要注意的两点如下：

• 对 $x$ 求导，则包括 $x$ 和其他常量都要按照求导公式进行计算，而除了 $x$ 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: ') 即可，不进行求导计算；

• 等式两边对同一变量求导后，等式仍然成立。因为求导前是等式，求导规则也一致，则求导后等式两边仍然恒等。

切线方程的计算公式如下：

$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$

解答思路如下：

由于切线方程的计算公式中包含导数 $f^{\prime }(x)$，因此，首先需要计算出导数。原式两边同时对 $x$ 求导可以产生导数 $y^{\prime }$：

$[\sin (xy)+\ln (y-x){]}^{\prime }=(x{)}^{\prime }\Rightarrow \cos (xy)(x^{\prime }y+x{y}^{\prime })+\frac{1}{y-x}(y-x{)}^{\prime }=1\Rightarrow \cos (xy)(y+x{y}^{\prime })+\frac{1}{y-x}(y^{\prime }-1)=1$

要求的是曲线在点 $(0,1)$ 处的切线方程，因此，我们把 $x=0;y=1$带入上面的到的式子中，得：

$1\cdot 1+1\cdot (y^{\prime }-1)=1\Rightarrow 1+y^{\prime }-1=1\Rightarrow y^{\prime }=1.$

即：

$y^{\prime }(0)=1.$

将上述结果带入切线方程求导公式得：

$y-1=1\cdot (x-0)\Rightarrow y=x+1.$

综上可知，本题得答案是：$y=x+1$

EOF