数据结构 —— B树

文章目录

  • 1、B树的定义
    • 1.1、B树的特性
    • 1.2、B树的高度
    • 1.3、性能分析
    • 1.4、B树的补充说明
    • 1.5 、B树、B-树 、B-tree、B tree的区别
  • 2、B树的插入操作
    • 下面以5阶B树为例,介绍B树的插入操作,
  • 3、 B树的删除操作
    • 下面以5阶B树为例,介绍B树的删除操作
  • B树相关的文章

1、B树的定义

B-tree 即 B树,B 即 Balanced,平衡的意思。

B树 是一颗多路平衡查找树。
数据结构 —— B树_第1张图片

B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B 树 (m叉树)的特性如下:

  1. 根节点至少有两个孩子 。
  2. 每个非根节点至少有M/2(上取整)个孩子,至多有M个孩子。
  3. 每个叶子节点 至少有 M/2-1(上取整)个关键字,至多有 M-1 个关键字。并以升序排列。(注:叶子节点是没有孩子)
  4. key[i] 和 key[i+1] 之间的孩子节点的值介于 key[i] 和 key[i+1] 之间。
  5. 所有的叶子节点都在同一层。

1.1、B树的特性

一棵m阶B树(m>=3),或是空树,或是具有如下几个特征的树:

  1. 如果是根结点,则 2 <= 根结点的孩子数 <= m;(根结点至少包含一个关键字)。
  2. 非叶子节点(除根结点和叶子结点外),ceil(m/2) <= 其包含的孩子数 <= m,其包含的关键字数 = 它的孩子数-1。【注:ceil(x):向上取整】
  3. 所有叶子结点都出现在同一层,ceil(m/2)-1 <= 结点包含的 关键字数 <= m - 1;
  4. 每个结点中的 关键字 从小到大排列,并且非叶子结点的k-1个 关键字 ,正好是它k个孩子包含的关键字的值域分划。
    【即:父结点中的第i个关键字(如果存在) < 第i个孩子中的所有关键字 < 父结点中的第i+1个关键字(如果存在)】

1.2、B树的高度

对于一个m(m>=3)阶B树,假设关键字总数目为n,高度为h:

  1. 根结点至少有2个孩子(根结点至少有一个关键字),因此第二层至少有两个结点;
  2. 除根和叶子结点外,其他结点至少有t=ceil(m/2)个孩子(取最小时,除根结点外,其他结点包含的关键字个数为t-1)。因此,第三层至少有2t个结点(第二层每个结点包含的关键字个数为t-1),第四层至少有 2t^2 个结点(第三层每个结点包含的关键字个数为t-1),……,第h-1层至少有2t^(h-3)个结点(第h-2层每个结点包含的关键字个数为t-1);
  3. 将所有结点包含的关键字相加:

数据结构 —— B树_第2张图片

由此可知:

  1. 在B树上增删改查的磁盘IO次数为为O(logtn),CPU时间为O(mlogtn)。
  2. 在关键字总数目不变的情况下,结点包含的关键字越多,B树的高度越小。这也是为什么SQL Server中应尽量以窄键建立聚集索引。因为键越小,结点可容纳的关键字越多,B树的高度越小,从而提升了查询性能。

1.3、性能分析

  1. n个关键字的平衡二叉排序的高度(lgn)比B树的高度约大lgt倍。

  2. 若作为在内存中使用的表结构,B树不一定比平衡二叉树好,尤其当m较大时更是如此。
    这是因为B树增删改查的CPU时间:O(mlogtn)=0(lgn·(m/lgt))

    而m/lgt>1,因此当m较大时,O(mlogtn)比平衡二叉排序树的CPU时间O(lgn)大得多。故,若B树仅作为在内存中使用,则应取较小的m。(通常取最小值m=3,此时B树每个内部结点孩子数目可为2或3,这种3阶的B-树称为2-3树)。

1.4、B树的补充说明

  1. B树的 阶数 是指 树中 的 最多子节点个数。比如,2-3树的阶是3,2-3-4树的阶是4;
  2. B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点;
  3. 关键字集合分布在整棵树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据;
  4. 搜索有可能在非叶子结点结束;
  5. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;

数据结构 —— B树_第3张图片

上图是一颗阶数为4的B树。

在实际应用中的B树的阶数m都非常大(通常大于100),所以即使存储大量的数据,B树的高度仍然比较小。每个结点中存储了关键字(key)和关键字对应的数据(data),以及孩子结点的指针。

我们将一个key和其对应的data称为一个记录但为了方便描述,除非特别说明,后续文中就用key来代替(key, value)键值对这个整体。在数据库中我们将B树(和B+树)作为索引结构,可以加快查询速速,此时B树中的key就表示键,而data表示了这个键对应的条目在硬盘上的逻辑地址。

1.5 、B树、B-树 、B-tree、B tree的区别

  1. B树B树 的原英文名称为 B-tree

  2. B-树:国内很多人喜欢把 B-tree 译作 B-树 。其实,这是个非常不好的直译,很容易让人产生误解。 初学者可能误认为 B-树 是一种树,而 B树 又是另一种树。 而事实上是 它们都是指的同一种 “树” 。

  3. B tree : 就是 B树

总结: B树 == B-树 == B-tree == B tree

2、B树的插入操作

插入操作是指插入一条记录,即(key, value)的键值对。如果B树中已存在需要插入的键值对,则用需要插入的value替换旧的value。若B树不存在这个key,则一定是在叶子结点中进行插入操作。

1)根据要插入的key的值,找到叶子结点并插入。

2)判断当前结点key的个数是否小于等于m-1,若满足则结束,否则进行第3步。

3)以结点中间的key为中心分裂成左右两部分,然后将这个中间的key插入到父结点中,这个key的左子树指向分裂后的左半部分,这个key的右子支指向分裂后的右半部分,然后将当前结点指向父结点,继续进行第3步。( 当阶数m为偶数时,需要分裂时就不存在排序恰好在中间的key,那么我们选择中间位置的前一个key或中间位置的后一个key为中心进行分裂即可。

下面以5阶B树为例,介绍B树的插入操作,

根B定义规则2( 至少有Math.ceil(m/2)-1个关键字 ),在5阶B树中,结点最多有4个key,最少有2个key。


a)在空树中插入39
在这里插入图片描述
此时根结点就一个key,此时根结点也是叶子结点


b)继续插入22、97、41

在这里插入图片描述
根结点此时有4个key


c)继续插入53

在这里插入图片描述

插入后超过了最大允许的关键字个数4,所以以key值为41为中心进行分裂,结果如下图所示,分裂后当前结点指针指向父结点,满足B树条件,插入操作结束。

当阶数m为偶数时,需要分裂时就不存在排序恰好在中间的key,那么我们选择中间位置的前一个key或中间位置的后一个key为中心进行分裂即可。

数据结构 —— B树_第4张图片


d)依次插入13、21、40,

数据结构 —— B树_第5张图片
同样会造成分裂,结果如下图所示。

数据结构 —— B树_第6张图片


e)依次插入30、27、 33 ;36、35、34; 24、29,

插入 30、27、 33

数据结构 —— B树_第7张图片


插入 36、35、34;

数据结构 —— B树_第8张图片

数据结构 —— B树_第9张图片


插入 24、29

结果如下图所示。

数据结构 —— B树_第10张图片


f)插入26

插入后的结果如下图所示。

数据结构 —— B树_第11张图片

当前结点需要以27为中心分裂,并向父结点进位27,然后当前结点指向父结点,结果如下图所示。

数据结构 —— B树_第12张图片

进位后导致当前结点(即根结点)也需要分裂,分裂的结果如下图所示。

数据结构 —— B树_第13张图片

分裂后当前结点指向新的根,此时无需调整。


g)最后再依次插入key为 17、28、31、32 的记录,

数据结构 —— B树_第14张图片

结果如下图所示:

数据结构 —— B树_第15张图片


在实现B树的代码中,为了使代码编写更加容易,我们可以将结点中存储记录的数组长度定义为m而非m-1,这样方便底层的结点由于分裂向上层插入一个记录时,上层有多余的位置存储这个记录。同时,每个结点还可以存储它的父结点的引用,这样就不必编写递归程序。

一般来说,对于确定的m和确定类型的记录,结点大小是固定的,无论它实际存储了多少个记录。但是分配固定结点大小的方法会存在浪费的情况,比如key为28,29所在的结点,还有2个key的位置没有使用,但是已经不可能继续在插入任何值了,因为这个结点的前序key是27,后继key是30,所有整数值都用完了。所以如果记录先按key的大小排好序,再插入到B树中,结点的使用率就会很低,最差情况下使用率仅为50%。

3、 B树的删除操作

删除操作是指,根据key删除记录,如果B树中的记录中不存对应key的记录,则删除失败。

1)如果当前需要删除的key位于非叶子结点上,则用后继key(这里的后继key均指后继记录的意思)覆盖要删除的key,然后在后继key所在的子支中删除该后继key。此时后继key一定位于叶子结点上,这个过程和二叉搜索树删除结点的方式类似。删除这个记录后执行第2步

2)该结点key个数大于等于Math.ceil(m/2)-1,结束删除操作,否则执行第3步。

3)如果兄弟结点key个数大于Math.ceil(m/2)-1,则父结点中的key下移到该结点,兄弟结点中的一个key上移,删除操作结束。

否则,将父结点中的key下移与当前结点及它的兄弟结点中的key合并,形成一个新的结点。原父结点中的key的两个孩子指针就变成了一个孩子指针,指向这个新结点。然后当前结点的指针指向父结点,重复上第2步。

有些结点它可能即有左兄弟,又有右兄弟,那么我们任意选择一个兄弟结点进行操作即可。

下面以5阶B树为例,介绍B树的删除操作

5阶B树中,结点最多有4个key,最少有2个key

a)原始状态
数据结构 —— B树_第16张图片

b)在上面的B树中删除21,删除后结点中的关键字个数仍然大于等2,所以删除结束。

数据结构 —— B树_第17张图片

c)在上述情况下接着删除27。从上图可知27位于非叶子结点中,所以用27的后继替换它。从图中可以看出,27的后继为28,我们用28替换27,然后在28(原27)的右孩子结点中删除28。删除后的结果如下图所示。
数据结构 —— B树_第18张图片

删除后发现,当前叶子结点的记录的个数小于2,而它的兄弟结点中有3个记录(当前结点还有一个右兄弟,选择右兄弟就会出现合并结点的情况,不论选哪一个都行,只是最后B树的形态会不一样而已),我们可以从兄弟结点中借取一个key。所以父结点中的28下移,兄弟结点中的26上移,删除结束。结果如下图所示。

数据结构 —— B树_第19张图片

d)在上述情况下接着32,结果如下图。
数据结构 —— B树_第20张图片

当删除后,当前结点中只key,而兄弟结点中也仅有2个key。所以只能让父结点中的30下移和这个两个孩子结点中的key合并,成为一个新的结点,当前结点的指针指向父结点。结果如下图所示。

数据结构 —— B树_第21张图片

当前结点key的个数满足条件,故删除结束。

e)上述情况下,我们接着删除key为40的记录,删除后结果如下图所示。

数据结构 —— B树_第22张图片

同理,当前结点的记录数小于2,兄弟结点中没有多余key,所以父结点中的key下移,和兄弟(这里我们选择左兄弟,选择右兄弟也可以)结点合并,合并后的指向当前结点的指针就指向了父结点。

数据结构 —— B树_第23张图片

同理,对于当前结点而言只能继续合并了,最后结果如下所示。
数据结构 —— B树_第24张图片

合并后结点当前结点满足条件,删除结束。

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