倒数平方根速算法
平方根倒数速算法(Fast inverse square root)，经常和一个十六进制的常量 0x5f3759df联系起来。该算法大概由上个世纪90年代的硅图公司开发出来，后来出现在John Carmark的Quake III Arena的源码中。
源码：
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
return y;
}
准备工作
IEEE浮点数标准
IEEE浮点标准采用
\[V=(-1)^{s}×M×2^{E} \]
的形式表示一个浮点数,s是符号位,M是尾数,E是阶码.
以32位float为例子:
对于规范化值,有:
\[E=Exp-Bias\\ Bias=2^{k-1}-1\\ M=1+f\\ f \in [0,1) \]
那么对于一个浮点数x,将其各段的值按整数解释,则有(此处默认s=0):
\[I=Exp×2^{23}+f×2^{23} \]
记:
\[L=2^{23} \\F=f×2^{23} \]
则有:
\[I=Exp×L+F \]
倒数平方根快速算法
对于函数:
\[y=\frac{1}{\sqrt x} \]
两边取对数,并带入浮点数表示:
\[\log ((1+f_{y})*2^{E_y})=-\frac{1}{2}\log((1+f_{x})*2^{E_x})\\ \Longrightarrow \log(1+f_{y})+E_y=-\frac{1}{2}[\log(1+f_{x})+E_x] \]
注意到f的范围,近似处理有:
\[\log(1+f)=\sigma +f\\ \sigma\approx 0.0430357 \]
代入化简:
\[f_y+\sigma+E_y=-\frac{1}{2}[f_x+\sigma+E_x]\\ \Longrightarrow \frac{F_y}{L}+\sigma+Exp_y-Bias=-\frac{1}{2}[\frac{F_x}{L}+\sigma +Exp_x-Bias]\\ \Longrightarrow \frac{3}{2}L(\sigma-Bias)+F_y+L*Exp_y=-\frac{1}{2}(F_x+L*Exp_x) \]
记:
\[Bias=B\\ \zeta =\frac{3}{2}L(B-\sigma)={\rm 0x5f3759df}\\ \]
则有:
\[I_y=\zeta -\frac{1}{2}I_x \]
最后将其按浮点数编码即可.
牛顿迭代法
利用如下的迭代式可以得到很精确的解:
\[x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
对于上述的计算,引入函数
\[f(y)=\frac{1}{y^2}-x_0 \]
计算有:
\[y_{n+1}=y_n(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}x_0*y_n^2) \]
Java版本与64位版本
public static float fastFloatInverseSqrt(float x) {
float xHalf = 0.5f * x;
int reEncode = Float.floatToIntBits(x);
reEncode = 0x5f3759df - (reEncode >> 1);
x = Float.intBitsToFloat(reEncode);
x *= (1.5f - xHalf * x * x);
return x;
}
public static double fastDoubleInverseSqrt(double x) {
double xHalf = 0.5d * x;
long reEncode = Double.doubleToLongBits(x);
reEncode = 0x5fe6ec85e7de30daL - (reEncode >> 1);
x = Double.longBitsToDouble(reEncode);
x *= (1.5d - xHalf * x * x);
return x;
}
double fastDoubleInverseSqrt(double x){
double xhalf=0.5 * x;
long reEncode=*((long*)&x);
reEncode=0x5fe6ec85e7de30da-(reEncode>>1);
x=*((double*)&reEncode);
x*=(1.5f-xhalf*x*x);
return x;
}
Magic Number: 0x0x5f3759df与0x5fe6ec85e7de30da