纯python实现感知机（梯度下降法）
为什么会用纯Python来实现呢？这种陶（hao）冶（wu）情（yong）操（chu）的做法肯定也不是我自己闲着蛋疼搞着玩的。。。 明明有更好的科学计算库不用，非要纯手写正面硬刚，除了老师用挂科作为威胁还能有谁？
下面是一大纯手打的堆理推导... 写的逻辑有些混乱，后续有时间再慢慢整理 觉得麻烦的小伙伴就不用看了，反正我代码里也写的有注释，代码稍后传上github后更新连接
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感知机（梯度下降法实现）
有Xn个样本，对应有Yn个对应的标签，正样本用+1，负样本用-1，二元分类需要找一个评价函数法f(x)，当f(x)为+1时，为正样本，当f(x)为-1时，为负样本，目的就是从训练集中找到f(x)的表达式，从测试集中找一个x，带入f(x)中就可得到是正样本还是负样本。
Xi为一个n维向量。
分割超平面为一个n-1维的字空间，
平面中的直线方程表达式：ax+by+c=0，Xi可以看作是一个向量包含x,y写作[x0,x1]转置，W看作另一个向量包括a,b，c用b来表示，所以直线方程就可以写作W*X+b=0。
当W*X+b>=0为正样本，当W*X+b<=0为负样本，f(x)可以表示为sign(W*X+b)，所以要确定W和b才能确定f(x)
评价函数（损失函数）的确定
当正样本判别为负样本时：Yi=1，f(Xi)=-1。所以当Yi(W*X+b)<0时，则为错误分类。
利用错误分类点到分割超平面的距离即可很好的表示损失函数，用错误分类点的个数则导致损失函数不连续，不能用梯度下降法求导。
因为点到面的距离计算公式为：（本例为一个二维向量）
所以得到F(x)= 1||w|||w⋅xi+b|
，损失函数
W始终垂直于分割超平面上的任意一个向量WX1 = WX2 = -b
推导：在分割超平面W*X+b=0上任取一点x，假设错误分类点为xi，则要求向量xi-x在分割超平面法向量W的上的投影，用向量内积来算，两个向量的内积等于两个向量的模乘以一个cosθ
，公式：a*b=a*b*cosθ
，等价于向量a在向量b方向上投影的长度再乘以一个cos角度，所以（Xi-x）* W = |di| * ||W||，di = W(Xi-x)||W||
，=WXi-Wx||W||
，因为WX+b=0所以=WXi+b||W||
因为WXi+b是有正负的，但是距离始终都是正值，因为错误分类点的WXi+b与Yi（真实值是相反），所以要得到错误分类点的‘正’距离则可以表示为di=-YiWXi+b||W||
，把所有错误分类点的距离加起来就得到了损失函数L=i=0n-Yi(WXi+b||W||)
，要是损失函数最小，就是求所有错误分类点的距离最小。当对分割超平面w⋅xi+b对它进行缩放的时候，实际上并不改变分割超平面的本身，所以损失函数可以进一步简化为L=i=0n-Yi(WXi+b)
如何是使得损失函数最小？
使用随机梯度下降（SGD）的方式来解决（传统的梯度下降每次更新都需要遍历所有data，当数据量太大或者一次无法获取全部数据时，这种方法并不可行。随机梯度下降方法解决这个问题基本思路是：只通过一个随机选取的数据(xn,yn) 来获取“梯度”，以此对w 进行更新。）
步骤：来了一个Xi先判断Yi(WXi+b)
是否小于0，如果小于0则是错误分类，使用梯度下降方法L=- Yi(WXi+b)
【去掉累加，针对某一个】
什么是梯度？当自变量X发生一个很小的值变化时，Y的变化趋势。当X变大时Y也变大它的梯度就是正的，当X变大时Y变小它的梯度就是负的，当Y变大的越多，梯度就越大，Y变大的越小梯度就越小，当梯度趋近于0时Y的梯度就没有变化了
梯度的方向是函数在这点增长最快的方向
∂L∂W=-YiXi
更新W时，对W求偏导，把W看作是自变量，其他的就为常数 。
∂L∂b=-Yi
更新b时，对b求偏导，把b看作是自变量，其他的就为常数
每次出现误分类时w或b分别减去它们各自在该误分类点的梯度值
因为要往梯度的负方向W=W-η（-YiXi）
，b=b-η(-Yi)
，学习率过大不收敛，来回震荡【错误分类点才执行】
最终 W=W+η（YiXi）
, b=b+ηYi
步骤：
- 来了一个x点，先判断是不是错误分类点，如果是就更新W和b，
- 更新更新W和b
当所有数据集遍历过了之后，如果没有错误分类点，则找到或者损失函数的值已经很小了再迭代已经无意义了
感知机的对偶形式：
如果W和X的维度很大的时候，第一步判断是否为错误分类点将会非常耗时，如果解决这个问题？
W=i=0n-1ai η Yi Xi
，b=i=0n-1ai Yi
，ai是第i个点更新的次数，最终的W和b为多次更新的累加和，所以分割超平面可以表示为i=0n-1ai η Yi Xi
*X+i=0n-1ai η Yi Xi
对偶形式的好处，可以提前算出xixj