线性代数(二十九) :特征值与特征向量的计算

本节介绍特征多项式和特征值与特征向量的计算

1 特征多项式

nxn矩阵A的特征多项式:

det(A - aI)    记做pa

2 求特征值与特征向量

对于方程det(A - aI) = 0 方程的根就是A的特征值,最后将特征值带入公式(A-aI)h=0中解出特征向量。

下边是两个例子:

(i) 例一


线性代数(二十九) :特征值与特征向量的计算_第1张图片

该方程有两个根:


他们就是特征值 带入求得对应的特征向量:

线性代数(二十九) :特征值与特征向量的计算_第2张图片

(ii)例二 利用特征值和特征向量求斐波那契公式的通项公式:

斐波那契数列的递推式:


数列的前10项:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34

用矩阵和向量重写递推式:


通过递推得到:


列出特征多项式的方程:


求解特征值如下:


对应的特征向量满足:


令特征向量第一个分量为1得:

将初始向量表示为特征向量的线性组合:


带入上边的递推式有:


由于数列都为整数:




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