欧拉定理与费马小定理

欧拉定理与费马小定理

进来回顾了下欧拉定理，笔记整理一下。

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剩余数系统

要讲欧拉定理，我们最好先了解下剩余数系统。

完全剩余数系统（Complete residue system (CRS) modulo n: Zn ）的定义是：

A set of n integers such that no two are congruent modulo n.
摸n之后结果不同的全部n个值构成了完全剩余系。

RSS（Reduced residue system (RRS) modulo n: Z∗n ）的定义是：

An RRS modulo n is a subset of a CRS modulo n such that each
integer is relatively prime to n
RSS是CRS的一个子集，包含了所有与n互素的数。

定义 ϕ（n） 为 所有比n小的且与n互素的元素个数，可以得到 ϕ（n）=|Z∗n| ：

定理

同时还有一个建立在上述系统上的定理：

如果1=（a,n）,R 是一个模n的剩余数系统，那么aR={ar|r ∈ R }也是一个模n的剩余数系统。

证明如下：

任意r ∈ R， 因为 1=(a,n) 并且 1=(r,n) ,所以 1=（ar,n）.
所以aR是一个模n的剩余数系统。

例子：

Z∗10={1,3,9,7}≡10{7,21,49,63}≡10{7,1,9,3} 

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欧拉定理与费马小定理

欧拉定理

欧拉定理描述的是一个关于同余的性质，表述如下：

∀a∈Z∗n,1≡aϕ(n)(mod n)

证明过程如下：

对于元素a,知1=(a,n).根据上面描述的定理，我们可以得到：
∏b∈Z∗nb≡n∏b∈Z∗nab≡naϕ(n)∏b∈Z∗nb .

因为 gcd(∏b∈Z∗nb,n)=1,可以推出∏b∈Z∗nb的逆元是存在的,所以1≡aϕ(n)(mod n)

费马小定理

费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况，表述如下：

∀质数p,并且对于∀x∈Zp,x≡xp(mod p)

证明如下：

因为p是质数，那么 ϕ(p)=p−1 ,x与p代码欧拉定理即可得到费马小定理.

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总结

欧拉定理在密码学中应用广泛，在RSA加密算法中就用到了欧拉定理的性质，本文总结了欧拉定理及其证明过程，方便以后回忆总结。