专升本高数学习总结——二重积分

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二重积分一般有三个考点

给定所求二重积分方程、所围区域D的方程求二重积分的值

这是考的最多的一点
例如
计算∬xydσ ，其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域
一般做题思路：
1、闭区域自然是封闭的，在画图之前先求出交点（1,1）（2,2），画出图像

如上图所示，D即是要求的闭区域
2、把D看做X型区域，然后就开始求x，y的范围
因为把D看做X型区域所以1≤x≤2(注意x的上下限都是常数)，1≤y≤x（特别注意D区域因为y=x在上面，y=1在下面所以得到这样的关系）

另外如果把D区域看做Y型区域（可以把上面的图像逆时针旋转九十度）

把D看做Y型区域，然后就开始求x，y的范围
因为把D看做Y型区域所以1≤y≤2(注意y的上下限都是常数)，y≤x≤2（特别注意D区域因为y=2在上面,x=y在下面所以得到这样的关系，与X型区域作比较）

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交换二重积分的积分次序

简单的二重积分（x与y的上下限中只有一个函数）
例如
交换下列二重积分的积分次序

由题意，积分区域D为Y型区域，1≤y≤2, 0≤x≤lny
转换成X型区域 想象下 lny函数必定在上面，所以x的最大值在y=2处取得，即x≤ln2
得0≤x≤ln2
x≤lny 化简得 y≥ex 得ex≤y≤2

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复杂的二重积分
例如
交换下列二重积分的积分次序

由题意得，积分区域D为X型区域，0≤x≤1，x≤y≤2-x
所以y=x y=2-x

如上图所示，需要分段，用直线y=1分成D1和D2两部分

D1={(x,y)| 0≤y≤1,0≤x≤y}
D2={(x,y)| 1≤y≤2,0≤x≤2-y}

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使用极坐标求二重积分

一般是求圆和圆弧的闭区域
将常规的x,y分别换成ρcosθ,ρsinθ
假设积分局域D可以用不等式 α≤ρ≤β，φ1≤θ≤φ2 ，其他条件忽略

具体步骤不写了~