BSGS及扩展BSGS

BSGS

作用

大步小步法（Baby-Step-Giant-Step，简称BSGS，至于为什么叫大步小步法，不是很清楚啊QAQ），可以较高效的求解形如 Ax≡B(mod C) （C是素数）的同余方程。

方法

ps：接下来讨论的都是(A,C)=1（由于C是素数，所以等价于A不是C倍数）的情况，如果(A,C)>1（A是C倍数），很容易特判掉。
在说BSGS之前，先来证明一个结论：
如果(A,C)=1，那么对于x∈N，有 Ax mod φ(C)≡Ax(mod C) 。
证明：因为(A,C)=1，根据欧拉定理，得 Aφ(C)≡1(mod C)
设k∈N，根据同幂性，得 Ak∗φ(C)≡1(mod C)
设a∈N且a<φ(C)，所以 Ak∗φ(C)+a≡Aa(mod C)
即 Ax mod φ(C)≡Ax(mod C) ，得证。
所以如果0<=x<φ(C)无解，之后肯定也无解（循环了）。不过值得一提的是，φ(C)并不是一定最小正周期，随便造点数据都可以验证。

接下来我们正式开始讲BSGS。这个算法实际上是利用了分块思想来优化暴力枚举，令m= ⌈C−−√⌉ ，我们假设 x=i∗m+j(0<=i<m，0<=j<m，i,j∈N) ，那么也就是说 Ax=Ai∗m∗Aj 。

令D= Ai∗m ，则原方程可转化为 D∗Aj≡B(mod C) 。用扩展欧几里得就可以求出 Aj 了。然而知道 Aj 好像并没有什么用，因为我们要求的是j。所以这里我们要用到巧妙的预处理（分块+预处理大法好！），就是先把 Aj 全部存进哈希表里（map也可以，就是常数大），然后就可以近似 O(1) 求出j了！

扩展BSGS

作用

BSGS只能处理C是素数的情况，太特殊了，应用范围不大。而扩展BSGS可以解决C不是素数的一般情况。

方法

设d=gcd(A,C)，那么A,B,C可以表示为A=a*d，B=b*d（如果B不是d的倍数且B!=1则显然无解），C=c*d。也就是说 (a∗d)x≡b∗d(mod c∗d) 。
根据同余性质，这个式子可以同除d，得到 a∗(a∗d)x−1≡b(mod c) ，如果我们把D*=a（D就是之前的D= Ai∗m ），那么前面就剩下 (a∗d)x−1 了，不停求d=gcd(A,C)，然后将B/=d，C/=d（A不变，因为是 Ax ），D*=A/d，num++，直到d=1为止。

最后方程就变成这种形式了： D∗Ax−num≡B(mod C) 。令x=i*m+j+num，那么和原先的BSGS一样处理就行了。只不过我们会发现由于 0<=i<m，0<=j<m ，所以x将会>=num，这就导致0~num-1枚举不到。所以要在最开始枚举一下0~num-1，这个问题就解决了。

模板题

POJ2417以及POJ3243，题解传送门。