Dijkstra算法和Floyd算法

最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k（贪心算法），把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。（个人觉得把步骤2和步骤3交换一下顺序更好，除V0外所有点的距离都设置为MAXINT，然后把V0当做第一个中间点，按照交换后的步骤2和步骤3进行计算）

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图

 

3.算法代码实现：

 

const int  MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)
{
  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中
      int n=MAXNUM;
  　　for(int i=1; i<=n; ++i)                          
 　　 {
      　　dist[i] = A[v0][i];
      　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点
      　　if(dist[i] == MAXINT)    
            　　prev[i] = -1;
 　　     else 
            　　prev[i] = v0;
   　　}
   　 dist[v0] = 0;
   　 S[v0] = true; 　　
 　　 for(int i=2; i<=n; i++)                         //步骤2
 　　 {
       　　int mindist = MAXINT;
       　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
      　　    {
         　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 
         　 　      mindist = dist[j];
       　　   }
       　　S[u] = true; 
       　　for(int j=1; j<=n; j++)                     //根据新的中间点计算改变其他顶点的距离（步骤3）
       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
       　　    {
           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径  
           　    　{
                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist 
                   　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点 
            　　    }
        　    　}
   　　}
}

 

4.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

 

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

 

2.算法描述

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

相应计算方法如下：

最后A₃即为所求结果

 

3.算法代码实现

typedef struct          
{        
    char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
    int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
}MGraph; 

void Floyd(MGraph g)
{
 　　int A[MAXV][MAXV];
 　　int path[MAXV][MAXV];
 　　int i,j,k,n=g.n;
 　　for(i=0;i)
    　　for(j=0;j)
    　　{ 　　
             A[i][j]=g.edges[i][j];
         　　 path[i][j]=-1;
     　 }
 　　for(k=0;k)
 　　{ 
      　　for(i=0;i)
         　　for(j=0;j)
             　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
             　　{
                   　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
                   　　path[i][j]=k;
              　 } 
    　} 
} 

算法时间复杂度:O(n³)

以上转自：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

1.dijkstra算法简介

Dijkstra算法是由E.W.Dijkstra于1959年提出，又叫迪杰斯特拉算法，它应用了贪心算法模式，是目前公认的最好的求解最短路径的方法。算法解决的是有向图中单个源点到其他顶点的最短路径问题，其主要特点是每次迭代时选择的下一个顶点是标记点之外距离源点最近的顶点。但由于dijkstra算法主要计算从源点到其他所有点的最短路径，所以算法的效率较低。

2.dijkstra算法基本过程

假设路网中每一个节点都有标号 是从出发点s到点t的最短路径长度；表示从s到t的最短路径中t点的前一个点。求解从出发点s到点t的最短路径算法的基本过程为：

1.      初始化。出发点设置为：

 

标记起源点s，记k = s,其他所有点设为未标记。

2.      检验从所有已标记的点k到其他直接连接的未标记的点j的距离，并设置:

3.      选取下一个点。从所有未标记的点中选取 最小的点i，点i被选为最短路径中的一点，并设为已标记的。

4.      找到点i的前一点。从已经标记的点集合中找到直接连接到点i的点,并标记为 。

5.      标记点i。如果所有的点已标记，则算法结束。否则，记k = i，转到2继续。

从以上算法的步骤中可以看出 ：dijkstra算法的关键部分是从未标记的点中不断地找出距离源点距离最近的点，并把改点加入到标记的点集合中，同时更新未标记的点集合中其余点到起始点的最短估计距离[z1] 。

以一个带有权值的无向图为例，用dijkstra算法分析从源点A到目标点F的最短路径。

1. 用带有权值的一个矩阵w表示含有n各节点的带权无向图， 代表弧段 的权值，如果从节点 到节点 不连通，那么 ，带权值图邻接矩阵如下图所示.设置A为源点,G为目的点, 代表从节点A到有向图中其他节点 的最短路径长度。设置初始值 代表标记的节点集合。

2. 是从A点出发求出的一条最短路径上的终止节点，令 ；

3.  修改起始节点A到集合之间的最短路径的长度值，如果d(j)+w(j,k) < d(k)，那么d(k) = d(j) + w(j,k)；

4. 重复步骤2、3的操作N-1次，最终得到从起始节点A到其他节点的最短路径，按照递增的顺序排列路径的长度。

3.dijkstra算法的流程图如下所示：

转自：http://blog.csdn.net/longshengguoji/article/details/10756003