LearningNotes 变分自编码（VariationalAutoEncoder VAE）

近年，随着有监督学习的低枝果实被采摘的所剩无几，无监督学习成为了研究热点。VAE（Variational Auto-Encoder，变分自编码器）[1,2] 和 GAN（Generative Adversarial Networks） 等模型，受到越来越多的关注。

笔者最近也在学习 VAE 的知识（从深度学习角度）。首先，作为工程师，我想要正确的实现 VAE 算法，以及了解 VAE 能够帮助我们解决什么实际问题；作为人工智能从业者，我同时希望在一定程度上了解背后的原理。

作为学习笔记，本文按照由简到繁的顺序，首先介绍 VAE 的具体算法实现；然后，再从直观上解释 VAE 的原理；最后，对 VAE 的数学原理进行回顾。我们会在适当的地方，对变分、自编码、无监督、生成模型等概念进行介绍。

我们会看到，同许多机器算法一样，VAE 背后的数学比较复杂，然而，工程实现上却非常简单。

1. 算法实现

这里介绍 VAE 的一个比较简单的实现，尽量与文章[1] Section 3 的实验设置保持一致。完整代码可以参见 repo。

1.1 输入：

数据集 X⊂Rn。

做为例子，可以设想 X 为 MNIST 数据集。因此，我们有六万张 0~9 的手写体 的灰度图（训练集）， 大小为 28×28。进一步，将每个像素归一化到[0,1]，则 X⊂[0,1]784 。

图1. MNIST demo （图片来源）

1.2 输出：

一个输入为 m 维，输出为 n 维的神经网络，不妨称之为 decoder [1]（或称 generative model [2]）（图1）。

图 2. decoder

在输入输出维度满足要求的前提下，decoder 以为任何结构——MLP、CNN，RNN 或其他。 由于我们已经将输入数据规一化到 [0, 1] 区间，因此，我们令 decoder 的输出也在这个范围内。这可以通过在 decoder 的最后一层加上 sigmoid 激活实现 :
f(x)=11+e−x 作为例子，我们取 m = 100，decoder 的为最普遍的全连接网络（MLP）。基于 Keras Functional API 的定义如下：

1. n, m = 784, 2
2. hidden_dim = 256
3. batch_size = 100
4.
5. ## Encoder
6. z = Input(batch_shape=(batch_size, m))
7. h_decoded = Dense(hidden_dim, activation='tanh')(z)
8. x_hat = Dense(n, activation='sigmoid')(h_decoded)

1.3 训练

图 3. VAE 结构框架

1.3.1 encoder

为了训练 decoder，我们需要一个辅助的 encoder 网络（又称 recognition model）（如图3）。encoder 的输入为 n 维，输出为 2×m 维。同 decoder 一样，encoder 可以为任意结构。

图 4. encoder

1.3.2 采样（sampling）

我们将 encoder 的输出（2×m 个数）视作分别为 m 个高斯分布的均值（z_mean）和方差的对数（z_log_var）。

接着上面的例子，encoder 的定义如下：

1. ## Encoder
2. x = Input(batch_shape=(batch_size, n))
3. h_encoded = Dense(hidden_dim, activation='tanh')(x)
4. z_mean = Dense(m)(h_encoded)    # 均值
5. z_log_var = Dense(m)(h_encoded) # 方差对数

然后，根据 encoder 输出的均值与方差，生成服从相应高斯分布的随机数：

1. epsilon = K.random_normal(shape=(batch_size, m),
2. mean=0.,std=epsilon_std) # 标准高斯分布
3. z = z_mean + exp(z_log_var / 2) * epsilon

z 就可以作为上面定义的 decoder 的输入，进而产生 n 维的输出 x^。

图5. 采样

这里运用了 reparemerization 的技巧。由于 z∼N(μ,σ)，我们应该从 N(μ,σ) 采样，但这个采样操作对 μ 和 σ 是不可导的，导致常规的通过误差反传的梯度下降法（GD）不能使用。通过 reparemerization，我们首先从N(0,1) 上采样 ?，然后，z=σ⋅?+μ。这样，z∼N(μ,σ)，而且，从 encoder 输出到 z，只涉及线性操作，（? 对神经网络而言只是常数），因此，可以正常使用 GD 进行优化。方法正确性证明见[1] 2.3小节和[2] 第3节 （stochastic backpropagation）。

图6. Reparameterization （图片来源）

preparameterization 的代价是隐变量必须连续变量[7]。

1.3.3 优化目标

encoder 和 decoder 组合在一起，我们能够对每个 x∈X，输出一个相同维度的 x^。我们目标是，令 x^ 与 x 自身尽量的接近。即 x 经过编码（encode）后，能够通过解码（decode）尽可能多的恢复出原来的信息。

注：严格而言，按照模型的假设，我们要优化的并不是 x 与 x^ 之间的距离，而是要最大化 x 的似然。不同的损失函数，对应着不是 p(x|z) 的不同概率分布假设。此处为了直观，姑且这么解释，详细讨论见下文（[1] 附录C）。

由于 x∈[0,1]，因此，我们用交叉熵（cross entropy）度量 x 与 x^ 差异：

xent=∑i=1n−[xi⋅log(x^i)+(1−xi)⋅log(1−x^i)]

xent 越小，x 与 x^ 越接近。

我们也可以用均方误差来度量：
mse=∑i=1n(xi−x^i)2
mse 越小，两者越接近。

训练过程中，输出即是输入，这便是 VAE 中 AE（autoencoder，自编码）的含义。

另外，我们需要对 encoder 的输出 z_mean（μ）及 z_log_var（logσ2）加以约束。这里使用的是 KL 散度（具体公式推导见下文）：
KL=−0.5∗(1+logσ2−μ2−σ2)=−0.5(1+logσ2−μ2−exp(logσ2))

这里的KL， 其实是 KL 散度的负值，见下文。

总的优化目标（最小化）为：

loss=xent+KL

或

loss=mse+KL

综上所述，有了目标函数，并且从输入到输出的所有运算都可导，我们就可以通过 SGD 或其改进方法来训练这个网络了。

由于训练过程只用到 x（同时作为输入和目标输出），而与 x 的标签无关，因此，这是无监督学习。

1.4 小结

总结一下，如图2，VAE 包括 encoder （模块 1）和 decoder（模块 4） 两个神经网络。两者通过模块 2、3 连接成一个大网络。利益于 reparemeterization 技巧，我们可以使用常规的 SGD 来训练网络。

学习算法的最好方式还是读代码，网上有许多基于不同框架的 VAE 参考实现，如 tensorflow、theano、keras、torch。

2. 直观解释

2.1 VAE 有什么用？

2.1.1 数据生成

由于我们指定 p(z) 标准正态分布，再接合已经训练和的 decoder （p(x|z)），就可以进行采样，生成类似但不同于训练集数据的新样本。

图7. 生成新的样本

图8（交叉熵）和图9（均方误差）是基于训练出来的 decoder，采样生成的图像（x^）

图8. 交叉熵损失

图9. 均方误差损失

严格来说，生成上图两幅图的代码并不是采样，而是 E[x"z] 。伯努力分布和高斯分布的期望，正好是 decocder 的输出 x^。见下面的讨论。

2.1.2 高维数据可视化

encoder 可以将数据 x，映射到更低维的 z 空间，如果是2维或3维，就可以直观的展示出来（图10、11）。

图10. 交叉熵损失

图11. 均方误差损失

2.1.3 缺失数据填补（imputation）

对许多现实问题，样本点的各维数据存在相关性。因此，在部分维度缺失或不准确的情况，有可能通过相关信息得到填补。图12、13展示一个简单的数据填补的实例。其中，第一行为原图，第二行为人行中间某些像素的缺失图，第三行为利用 VAE 模型恢复的图。

图12. 交叉熵损失

图13. 均方误差损失

2.1.4 半监督学习

相比于高成本的有标注的数据，无标注数据更容易获取。半监督学习试图只用一小部分有标注的数据加上大量无标注数据，来学习到一个较好预测模型（分类或回归）。
VAE 是无监督的，而且也可以学习到较好的特征表征，因此，可以被用来作无监督学习[3, 12]。

2.2 VAE 原理

由于对概率图模型和统计学等背景知识不甚了了，初读[1, 2]，对问题陈述、相关工作和动机完全无感。因此，先放下公式，回到 comfort zone，类比熟悉的模型，在直觉上理解 VAE 的工作原理。

2.2.1 模型结构

从模型结构（以及名字）上看，VAE 和 自编码器（audoencoder）非常的像。特别的，VAE 和 CAE（constractive AE）非常相似，两者都对隐层输出增加长约束。而 VAE 在隐层的采样过程，起到和 dropout 类似的正则化偷用。因此，VAE 应该和 CAE 有类似的训练和工作方式，并且不太易容过拟合。

2.2.2 流形学习

数据虽然高维，但相似数据可能分布在高维空间的某个流形上（例如图14）。而特征学习就要显式或隐式地学习到这种流形。

图14. 流形学习 （图片来源）

正是这种流形分布，我们才能从低的隐变量恢复出高维的观测变量。如图8、图9，相似的隐变量对应的观测变量确实比较像，并且这样相似性是平滑的变化。

3. 推导

VAE 提出背景涉及概率领域的最大似然估计（最大后验概率估计）、期望最大化（EM）算法、变分推理（variational inference，VI）、KL 散度，MCMC 等知识。但 VAE 算法本身的数学推导不复杂，如果熟悉各个内容的话，可以直接跳到 3.6。

3.1 问题陈述

已知变量 x 服从某固定但未知的分布。x 与隐变量（latent variables）的关系可以用图15 描述。这是一个简单的概率图。（注意，x 和 z 都是向量）

图15 两层的有向概率图，x通ky"http://www.it165.net/qq/" target="_blank" class="keylink">qq527LiseTBv6Oses6q0v6x5MG/PC9lbT48L3A+CjxwPrbU09rV4rj2uMXCys28o6w8bm9icj5wKHopPC9ub2JyPiCjqNL+seTBvyA8bm9icj56PC9ub2JyPiC1xM/I0emjqaGiPG5vYnI+cCh4"z)（x 相对 z 的条件概率）,及p(z|x)（隐变量后验）三者就可行完全描述 x 和 z 之间的关系。因为两者的联合分布可以表示为：

p(z,x)=p(x|z)p(z)

x 的边缘分布可以计算如下：
p(x)=∫zp(x,z)dz=∫zp(x|z)⋅p(z)dz=Ez[p(x|z)]

我们只能观测到 x，而 z 是隐变量，不能被观测。我们任务便是通过一个观察集 X，估计概率图的相关参数。

对于一个机器学习模型，如果它能够（显式或隐式的）建模 p(z) 和 p(x|z)，我们就称之为生成模型。这有如下两层含义：
1. 两者决定了联合分布 p(x,z)；
2. 利用两者可以对 x 进行采样（ancestral sampling）。具体方法是，先依概率生成样本点 zi∼p(z)，再依概率采样 xi∼p(x|zi)。

最简单的生成模型可能是朴素贝叶斯模型。

3.2 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）

概率分布的参数最经典的方法是最大似然估计。

给定一组观测值 X=(xi), i=1,..,n。观测数据的似然为：
L(pθ(X))=∏inpθ(xi)

一般取似然的对数：
logL(pθ(X))=∑inlogpθ(xi)

MLE 假设最大化似然的参数 θ∗ 为最优的参数估计。因此，概率的参数估计问题转化为了最大化 logL(pθ(X)) 的最化问题。

从贝叶斯推理的观点，θ 本身也是随机变量，服从某分布 p(θ)。

p(θ|X)=p(θ)⋅(X|θ)p(X)=p(θ)⋅(X|θ)∫θp(X,θ)dθ∝p(θ)⋅(X|θ)

logp(θ|X)=logp(θ)+logL(p(X|θ))

这是最大后验概率估计（MAP）。

3.3 期望最大化算法（Expectation-Maximum，EM）

对于我们问题，利用 MLE 准则，优化目标为：
logp(X,Z)

由于z 不可观测， 我们只能设法优化：
logp(X)=log∫zp(X,z)dz

通过 MLE 或 MAP 现在我们已经有了要目标（对数似然），但在我们问题下，似然中存在对隐变量 z。合理假设（指定）p(z) 和 p(x|z)的分布形式，可以用期望最大化算法（EM）解决。

随机初始化 θold
E-step：计算 pθold(z|x)
M-step：计算 θnew，给定：
θnew=argmaxθQ(θ,θold)
其中，
Q(θ,θold)=∫zpθold(z|x)log(pθ(x,z))dz

EM 比较直观的应用是解决高斯混合模型（Gaussian Mixtrue Model，GMM）的参数估计及K-Means 聚类。更复杂的，语音识别的核心——GMM-HMM 模型的训练也是利用 EM 算法[5]。

这里我们直接给出 ME 算法而省略了最重要的证明，但 EM 是变分推理的基础，如果不熟悉建议先参见 [4] Chapter 9 或 [9]。

3. 4 MCMC

EM 算法中涉及到对 p(z|x) （即隐变量的后验分布）的积分（或求各）。虽然上面举的例子可以方便的通过 EM 算法求解，但由于概率分布的多样性及变量的高维等问题，这个积分一般是难以计算的（intractable）。

因此，可以采用数值积分的方式近似求得 M-step 的积分项。
Q(θ,θold)=∫zpθold(z|x)log(pθ(x,z))dz≈1N∑i=1Nlogpθ(x,zi)

这涉及到按照 p(z|x) 对 z 进行采样。这需要用到 MCMC 等采样技术。关于 MCMC，LDA数学八卦 0.4.3 讲得非常明白，这里不再赘述。也可以参考 [4] Chapter 11。

3.5 变分推理（Variational Inference，VI）

由于 MCMC 算法的复杂性（对每个数据点都要进行大量采），在大数据下情况，可能很难得到应用。因此，对于 p(z|x) 的积分，还需要其他的近似解决方案。

变分推理的思想是，寻找一个容易处理的分布 q(z)，使得 q(z) 与目标分布p(z|x) 尽量接近。然后，用q(z) 代替 p(z|x)

分布之间的度量采用 Kullback–Leibler divergence（KL 散度），其定义如下：

KL(q||p)=∫q(t)logq(t)p(t)dt=Eq(logq−logp)=Eq(logq)−Eq[logp]

在不致引起歧义的情况下，我们省略 E 的下标。这里不加证明的指出 KL 的一些重要性质：KL(q||p)≥0 且 KL(q||p)=0?q=p [6]

注：KL散度不是距离度量，不满足对称性和三角不等式

因此，我们寻找 q(z) 的问题，转化为一个优化问题：
q∗(z)=argmaxq(z)∈QKL(q(z)||p(z|x))

KL(q(z)||p(z|x)) 是关于 q(z) 函数，而 q(z)∈Q 是一个函数，因此，这是一个泛函（函数的函数）。而变分（variation）求极值之于泛函，正如微分求极值之于函数。
如果对于变分的说法一时不好理解，可以简单地将变分视为高斯分布中的高斯、傅里叶变换中的傅里叶一样的专有名词，不要尝试从字面去理解。
另外不要把变分（variation）与 variable（变量）, variant（方差）等混淆，它们之间没有关系。

ELBO（Evidence Lower Bound Objective）

根据 KL 的定义及 p(z|x)=p(z,x)p(x)
KL(q(z)||p(z|x))=E[logq(z)]−E[logp(z,x)]+logp(x)

令
ELBO(q)=E[logp(z,x)]−E[logq(z)]
根据 KL 的非负性质，我们有
logp(x)=KL(q(x)||p(z|x))+ELBO(q)≥ELBO(q)

ELBO 是 p(x) 对数似似然（即证据，evidence）的一个下限（lower bound）。

对于给定的数据集，p(x) 为常数，由
KL(q(x)||p(z|x))=logp(x)−ELBO(q)
最小化 KL 等价于最大化 ELBO 。

关于变分推理这里就简单介绍这么多。有兴趣的话可以参考 [6]、[4] Chapter 10 以及最新的 tutorial [10]。

3.6 VAE

这里主要是按照 [1] 的思路来讨论 VAE。

观测数据 x(i) 的对数似然可以写作：
logpθ(x(i)=KL(qΦ(z|x(i))||pθ(z|x(i)))+L(θ,Φ;x(i)))

这里我们将 ELBO 记作 L，以强调需要优化的参数。
我们可以通过优化 L，来间接的优化似然。

VI 中我们通过优化 L 来优化 KL。

根据概率的乘法公式，经过简单的变换，L 可以写作
L(θ,Φ;x(i)))=−KL(qΦ(z|x(i))||pθ(z))+EqΦ(z|x)[logpθ(x(i)|z)]

因此，我们优化的目标可以分解成等号右边的两项。

3.6.1 第一项

我们先考察第一项，这是一个 KL 散度。q 是我们要学习的分布，p 是隐变量的先验分布。通过合理的选择分布形式，这一项可以解析的求出。

如果，q 取各维独立的高斯分布（即第1部分的 decoder），同时令 p 是标准正态分布，那么，可以计算出，两者之间的 KL 散度为：
−KL(qΦ(z|x(i))||pθ(z))=−0.5∗(1+logσ2i−μ2i−σ2i)=−0.5(1+logσ2i−μ2i−exp(logσ2i))

这就是本文第1部分目标函数的 KL 项了。

具体证明见 [1] 附录B。

3.6.2 第二项

然后，我们考察等式右边第二项。EqΦ(z|x)[logpθ(x(i)|z)] 是关于 x(i) 的后验概率的对数似然。

由于 VAE 并不对 q(z|x) （decoder） 做太强的假设（我们的例子中，是一个神经网络），因引，这一项不能解析的求出。所以我们考虑采样的方式。
EqΦ(z|x)[logpθ(x(i)|z)]≈1L∑j=1Llogpθ(x(i)|z(j))
这里 z(j) 不是通过从 decoder 建模的高斯分布直接采样，而是使用了第1部分介绍的 reparameterization 方法，其正确性证明见[1]的2.3小节。

如果每次只采一个样本点，则
EqΦ(z|x)[logpθ(x(i)|z)]≈logpθ(x(i)|z~)

其中，z~ 为采样点。很幸运，这个式正是神经网络常用的损失函数。

3.6.3 损失函数

通过上面讨论，VAE 的优化目标都成为了我们熟悉并容易处理的形式。下面，我们针对 pθ(x(i)|z~)（encoder）的具体建模分布，推导下神经网络训练中实际的损失函数。

第1部分介绍了 交叉熵和均方误差两种损失函数。下面简单介绍下，两种损失对应的不同概率分布假设。以下分布均假设 x 的各维独立。

交叉熵

如果假设 p(xi|z),(i=1,..,n) 服从伯努力分布，即：
p(x=1|z)=αz,p(x=0)=1−αz
对于某个观测值，其似然为：
L=αxz⋅(1−αz)1−x

decoder 输出为伯努力分布的参数，即 αz=decoder(z)=x^。则对数似然为：
logL=x⋅log(x^)+(1−x)log(1−x^)
−logL 这就是我们使用的交叉熵。

均方误差

如果假设 p(xi|z),(i=1,..,n) 服务高斯分布，即
p(x|z)=12π−−√σ⋅e−(x−μ)22σ2

对数似然为：

logL=−0.5∗log(2π)−0.5∗logσ−(x−μ)22σ2

decoder 为高斯分布的期望，这里不关心方差，即σ为未知常数。我们是优化目标为（去掉与优化无关的常数项）：
max−(x−μ)22σ2=min(x−μ)2
这就是我们要优化的均方误差。

对不同损失函数与概率分布的联系，详细讨论见 [4] Chapter 5。

4. 结语

对这个领域的接触不多，认识浅显，文献也读的少，更多的是一些疑问：

VAE 是非常漂亮的工作，是理论指导模型结构设计的范例。

[1] [2] 独立提出 VAE。虽然最后提出的算法大致相同，但出发点和推导思路还是有明显不同，应该放在一起相互参照。

VAE 作为一种特征学习方法，与同样是非监督的 AE、 RBM 等方法相比，优劣势分是什么？

[2] 讨论了与 denoising AE 的关系，但 VAE 在形式上与 constractive auto-encoder 更相似，不知道两者的关系如何理解。

有些工作利用 VAE 作半监督学习，粗略看了些，并没有展现出相比于其他预训练方法的优势[3, 12]。

结合上面几点，虽然 VAE 是一个很好的工具，新的“论文增长点”，但仅就深度学习而言，感觉仅仅只是另一种新的工具。