Deep_Kevin
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「EZEC-1」数列，组合数推导

正题

      Portal

      比赛的时候不懂一个组合数的公式暴毙。我太菜了

      实际上你可以发现，第一行的公差是1，第二行的公差是a+b，第i行的公差是(a+b)^{i-1}，这是为什么呢？

      可以发现从每一行的公差是上一行的(a+b)倍，因为相邻两项之间被*a贡献之间公差为上一层的公差，被*b贡献之间公差为上一层的公差，c可以抵消掉，所以公差就是(a+b)倍。

      那么就可以得到递推公式f(i)=(a+b)f(i-1)+b*(a+b)^{i-2}+c。

      这个东西就可以直接用矩阵快速幂做，主要就是维护一个5*5的矩阵（也许您不用？

      但是，我要将我在比赛的方法推广！

      首先可以看作是把每行拆开，除了第一行之外全部都是c，c的贡献是很好算的，向下走一步*a向左下走一步乘b。

      那么就有：\sum_{i=0}^{n-2}c\sum_{j=0}^i C_i^ja^jb^{i-j}=c\sum_{i=0}^{n-2}(a+b)^i

      再来康康第一行怎么往下走：\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)C_{n-1}^ia^{n-1-i}b^i

      啊这个东西就是我不会化简的：=(a+b)^{n-1}+b\sum_{i=0}^{n-2}(n-1)C_{n-2}^ia^{n-2-i}b^i

      惊不惊喜，意不意外。

      实际上这里用到了一个我昨晚发现的公式：nC_{n-1}^{i-1}=iC_n^i

      具体证明很简单，可以暴力展开，也可以讨论一下选球，笔者不多赘述。

       然后就是把i-1换成i，合并一下发现就是：(a+b)^{n-2}(bn+a)，跟题解里面不知道怎么麻烦推出来的式子一模一样。

       后面就没什么好说的了，跟题解一样，c的贡献可以直接二分递归+龟速乘+快速幂。（没有代码，数学题

     

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