工科数学分析无穷级数总结

序言

2020/3/26，老师留了个作业：总结无穷这几周学的无穷级数。由于字太丑所以用一些特别的方式来总结一下吧。

1. 来一个有趣的例子：
   $0.9<1$
   $0.99<1$
   $0.999<1$
   $0.99999<1$
   $0.99999\cdots =1$
   这是我小学就知道的东西，现在到了大学终于明白为什么$0.99999\cdots =1$
   这里是知乎网友证明$0.999\cdots =1$的过程
2. 再来一个更贴切点儿点的例子：
   我：小明，咱俩那么好的哥们，我未来会给你一个亿
   小明：好呀好呀！什么时候给我？
   我：未来
   小明：未来是什么时候?
   我：以后再说
   其实我可以到无穷多年之后再给小明这笔巨款，所以小明什么时候能得到？无穷年后？那么他真的会得到这笔巨款吗？哈哈聪明的你可能想到小明根本得不到这笔巨款。 这就我所理解的无穷。

一.常数项级数

概念

1. 什么是常数项无穷级数？

$a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots$，或${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$称为常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，$a_n$称为该级数的通项

2. 级数的收敛性与和

$$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$
上述式子称为级数的部分和。若部分和数列{$S_n$}收敛，则称级数收敛，并称
$$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n{a}_k$$为他们的和，记作${\sum }_{n=1}^{n\to \infty }{a}_n=S$；否则称级数发散，级数的收敛与发散成为敛散性收敛级数的和与其部分和之差$R_n=S-S_n={\sum }_{k=n+1}^{\infty }{a}_k$称为该级数的余项

两个特别的级数

1. 等比级数
   $$\sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^{n-1}+\cdots (a\ne 0)$$
   $|q|<1$，等比级数收敛；当$|q|\ge 1$，等比级数发散
2. 调和级数
   $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots$$
   为什么叫做调和级数？调和级数发散
   ​

级数的判别方法

①常数项级数判别法

• 定义判别法
• Cauchy收敛原理
  
  每次都有柯西，但是我发现做题很少用柯西的东西

②正项级数的审敛准则

• 正项级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛的充要条件是它的部分和数列有上界
• 比较准则$Ⅰ$

• 比较准则$Ⅱ$
  

• 积分准则
  

• D’Alembert准则
  

• Cauchy准则
  

• 对数判别法
  

③变号级数的审敛准则

• Leibniz准则
  

④绝对收敛

• 绝对收敛准则
  若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$收敛，则级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛
• 绝对收敛性质
  $Ⅰ$ ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$绝对收敛，则任意交换它的各项顺序后所得的新级数也绝对收敛，且其和不变；
  $Ⅱ$若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$和${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$都绝对收敛，其和分别为$A$与$B$，则级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{c}_n(c_n=a_1{b}_n+a_2{b}_{n-1}+\cdots +a_n{b}_1)$也绝对收敛且其和等于$AB$。

二.函数项级数

概念

1. 什么是函数项级数？

设{$u_n$}是定义在同一集合$A\subset R$上由无穷多项组成的一列函数（称为函数列）将他们各项依次用加号联结起来所得到的表达式 $$u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots 或\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$
称为集合A上的函数项级数，$u_n$称为它的通项，前$n$项之和 $S_n={\sum }_{k=1}^n{u}_k$称为它的部分和

2. 函数项级数处处收敛与和函数

设$x_0\in A$，将$x_0$代入函数项级数，它就变成一个常数项级数
$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)=u_1(x_0)+u_2(x_0)+\cdots +u_n(x_0)+\cdots$$
若该级数收敛，则称$x_0$为函数项级数的收敛点，由收敛点全体构成的集合$D$称为该级数的收敛域。若$x_0$不是收敛点，则称它为该级数的发散点，由发散点的全体所构成的集合称为该级数的发散域。设$D$为级数的收敛域，则$\forall x\in D$，级数都收敛，称该级数的这种收敛在$D$上处处收敛（或逐点收敛）。此时，称由$$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x),x\in D$$定义的函数$S$：$D$->$R$为级数的和函数，简称和。
若级数在$D$上处处收敛，则$$S(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n{u}_k=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)$$
因此，在$D$上级数的和函数就是其部分和$S_n(x)$的极限，与常数项类似，也称
$$R_n(x)=S(x)-S_n(x)=\sum _{k=n+1}^{\infty }{u}_k(x)$$为改级数的余项并且 ${\lim }_{n\to \infty }{R}_n(x)=0(x\in D)$

一致收敛

1. 函数项级数一致收敛

若存在一个函数$S$：$D$->$R$，满足
$\forall \epsilon >0$，$\exists N(\epsilon )\in N_{+}$，当 $n>N(\epsilon )$时，$\forall x\in D$，恒有$|S(x)-S_n(x)|$，称级数在$D$ 上一致收敛于$S$

2. 函数项级数一致收敛判别准则

• Cauchy一致收敛原理
  
• Weierstrass 准则
  

3. 函数项级数一致收性质

• 和函数的连续性
  

• 和函数的可积性
  

• 和函数的可导性
  

三.幂级数

概念

什么是幂级数?

形如
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\cdots$$
或者
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+\cdots$$的函数项级数称为幂级数

收敛半径

1.什么是收敛半径?

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 $|z-a|<R$时幂级数收敛，在 $|z-a|>R$时幂级数发散。

2.求收敛半径

• 比值求法
  设有幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$，若$a_n\ne 0$，并且${\lim }_{n\to \infty }|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$存在或为$+\infty$则它的收敛半径为$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$$

• 根值求法
  设有幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$，若$a_n\ne 0$，并且${\lim }_{n\to \infty }|\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}|$存在或为$+\infty$则它的收敛半径为$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}|$$

幂级数性质

1.代数运算性质

设幂级数与的收敛半径分别为$R1$与$R2$，令$R=min(R1,R2)$，则在它们的公共收敛区间$(-R,R)$内，有

2.和函数的性质

• 和函数的可积性
  
• 和函数的可导性

常见麦克劳林级数

• 几何级数
  $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots ,|x|<1$$

• 指数函数$e^x$展开式
  $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots ,x\in (-\infty ,+\infty )$$

• 正弦$sinx$展开式
  $$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\cdots ,x\in (-\infty ,+\infty )$$

• 余弦函数$cosx$展开式
  $$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots ,x\in (-\infty ,+\infty )$$

• 对数函数$ln(x+1)$展开式
  $$ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots ,x\in (-1,1]$$

• 幂函数$(1+x{)}^a$的展开式$(a\in R)$
  $$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}{x}^n+\cdots ,x\in (-1,1)$$

四.傅里叶级数

三角函数的正交性

1.三角函数系

{$1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,\cdots ,cosnx,sinnx,\cdots$}

2.正交性

Dirichlet定理与条件

傅里叶级数展开

1.定义在$[-l,l]$上函数的Fourier展开

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cos\frac{n\pi x}{l}+b_{n}sin\frac{n\pi x}{l})$$
其中系数$a_n$和$b_n$可由下面的公式求的

$$\{\begin{array}{l}{a}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx(n=0,1,2,\cdots )\\ b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx(n=1,2,3,\cdots )\end{array}$$

2.定义在$[0,l]$上函数的Fourier展开

• 偶延拓
  如果要求将$f$在$[0,l]$展开成Fourier余弦函数，可采用偶延拓的方式
  $$F(x)=\{\begin{array}{l}f(x),0\le x\le l\\ f(-x),-l\le x<0\end{array}$$
  将$F$在$[-l,l]$上展开成Fourier级数，得
  $$\{\begin{array}{l}{a}_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx(n=0,1,2,\cdots )\\ b_n=0(n=1,2,3,\cdots )\end{array}$$
  从而得知
  $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos\frac{n\pi x}{l}$$
  就是$f$在$[0,l]$上的Fourier余弦展开式
• 奇延拓
  如果要求将$f$在$[0,l]$展开成Fourier余弦函数，可采用偶延拓的方式
  $$F(x)=\{\begin{array}{l}f(x),0<x\le l\\ -f(-x),-l\le x<0\end{array}$$
  将$F$在$[-l,l]$上展开成Fourier级数，得
  $$\{\begin{array}{l}{a}_n=0(n=0,1,2,\cdots )\\ b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx(n=1,2,3,\cdots )\end{array}$$
  从而得知
  $$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sin\frac{n\pi x}{l}$$
  就是$f$在$[0,l]$上的Fourier余弦展开式

总结

学的不咋好，上网课太难专注了，就这样吧。如有错误请指正。
图片来源于百度百科和工科数学分析电子课本
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