Codeforces Round #643 (Div. 2) C. Count Triangles

C. Count Triangles

题目链接-C. Count Triangles


题目大意
给你四个数$A，B，C，D$，求有多少个三边为$x，y，z（A\le x\le B\le y\le C\le z\le D）$的三角形

解题思路
$组合数学$

• 若枚举$x,y,z$的值肯定是会超时的，所以我们可以枚举满足条件的$x+y$的值
• 若想能$x,y,z$组成三角形，那么需要$x+y>z$, 又$z\in [C,D]$，所以$(x+y{)}_{min}>C$
• 因为$x\in [A,B]$且$y\in [B,C]$，又$(x+y{)}_{min}>C$，所以$(x+y{)}_{min}=max(A+B,C+1)$，易得$x+y\in [max(A+B,C+1),B+C]$
• 然后for循环枚举可行的$x+y$值，对于每个$i$，满足条件的$z$值范围为$[C,i-1]$，又因为$z_{max}=D$，所以可取$z$的个数为min(D,i-1)-C+1，即min(D+1,i)-C
• 因为$x+y=i$，确定了其中一个数的值，另一个数的也就确定了，所以我们可以求出对于每个$i$，可取$x$值的个数，即是满足x+y==i的$x,y$对数
• 容易看出$x$的变化范围为$[i-C,i-B]$，不过$x$还需要在$[A,B]$之内，取相交区间就行了，所以$x\in [max(i-C,A),min(i-B,B)]$，所以满足$x+y=i$的$x,y$对数就为$min(i-B,B)-max(i-C,A)+1$
• 根据乘法原理，可以可得对于当前$i$满足条件的$x,y,z$组数为min(D+1,i)-C*min(i-B,B)-max(i-C,A)+1，即可得到答案

附上代码

#pragma GCC optimize("-Ofast","-funroll-all-loops")
#include
#define int long long
#define lowbit(x) (x &(-x))
#define endl '\n'
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int dir[4][2]={-1,0,1,0,0,-1,0,1};
const double PI=acos(-1.0);
const double e=exp(1.0);
const double eps=1e-10;
const int M=1e9+7;
const int N=2e5+10;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef unsigned long long ull;
inline void read(int &x){
    char t=getchar();
    while(!isdigit(t)) t=getchar();
    for(x=t^48,t=getchar();isdigit(t);t=getchar()) x=x*10+(t^48);
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);

	int a,b,c,d,ans=0;
	cin>>a>>b>>c>>d;
	for(int i=max(c+1,a+b);i<=b+c;i++)
		ans+=(min(d+1,i)-c)*(min(i-b,b)-max(i-c,a)+1);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}