第十一章（2）对坐标的曲线积分

1.（变力的功）

根据物理学知识，力是一个矢量，在数学中可以用向量来表示： 

 ,

位移也是一个矢量，在数学中同样用一个向量来表示,记作：

则力F在点 处产生一个位移  ，所做的功是一个标量

 

2，当平面坐标处质点在力的作用下沿着弧线运动时产生一个非常小的位移  , 由于位移非常小，则是的力可以用一个近似值来替代   ，在这小段位移中的功可以表示为 

取积分便得到，质点整个运动过程所做的功 ： （在各个坐标轴方向上取积分求和）

2. 对坐标的曲线积分的定义：

3.空间曲线的情形：（各个坐标分量方向的积分的和，由于功是俩向量的内积，因此是对应坐标相乘取积分。）

4.对坐标的曲线积分的计算，同对弧长的曲线积分由类似的计算公式：

5.在里F的作用下，质点沿正向运动产生的正功，沿负向运动产生的是负功 。 因此，对坐标的积分是有方向的 。 

 

6.在引入参数方程之后，曲线积分中的P和Q实际都是关于t的医院函数 ， 实际上是在  上对函数 

 的一元函数做定积分。 

 

7.形如： 的积分，可以看成是缺少项  的曲线积分 。 按照实际意义，可以理解为，力F的y分量横为零。

8.例题：

计算曲线积分    ,其中L为抛物线  上从点A（1，-1）到点B（1，1）的一段弧。

解答：

方法一：

根据曲线积分的计算方法，把y看成参数，则有 

                                   ；

于是

方法二：

也可以把，积分曲线表达式中的x看成参数，由于二次函数   关于自变量y 的反函数，x=x（y） 不存在，所以需要分段考虑，在分段区间上行，就可以保证反函数存在，然后利用曲线积分的分段可加性几

  

TIP:在对坐标的积分，利用参数方程进行计算的时候，下限是参数在起点处的取值 ，上相是参数在终点处取得的值；这区别于对弧长的曲线积分；对弧长的曲线积分，转化为定积分的时候，积分下限是参数取值的下限，积分上限取值是参数的取值上限。

 

对坐标的曲线积分，当积分曲线平行于坐标轴时：

当积分曲线平行于x轴时：

                                           

,这是因为这时，参数方程可以写成：

于是   。 （即是，积分变量y无法取得增量，因此，转化而来的定积分的积分区间长度为0，因此为零。）

类似地，积分弧段是平行于y轴的直线时：

                                          ,若 ,则曲线积分是零。

记忆技巧：积分弧段平行于x轴时，只有x分量；积分弧段平行于y轴时，只有y分量 。 

例题：

计算曲线积分：

  其中L为一条折线，OAB，这里O，A,B 的坐标分别为（0，0），（1，0），（1，1） 。 

解答：由于这是积分弧段，是分段光滑的，根据曲线积分的分段可加的性质得 

根据平行于坐标轴的积分的运算规律(于x轴平行，无法取得y的增量，只有x ；于y轴平行，无法取得x的增量，只有y。)

例题：

设L为xoy 面内x 轴上从点（a，0）到点（0，b）的一段直线，证明：