2020 考研数学一 全解析

19题：

设函数  在  上具有连续导数， ,  

证明：

（1）存在  使得 

（2）若对于任意的  ,  ,则M= 0 。

证明：

由 

          

 至存在一点C使得 ， 

                                                  且    C为  的极值点 ；

因为函数 在区间上  连续可导，所以必有.

(1)

函数 在  上连续，开区间上可导，有拉格朗日中值定理可得，

使得， 

                                 

函数 在  上连续，开区间上可导，有拉格朗日中值定理可得，

使得， 

                                 

a)   当 

                                    

b)   当 

                                    

综合a），b) 总存在  ,  ，（1）证毕。

 

（2）用反证法，由题意知道，  ，为了证明结论

设  ，

所以 ，  ， 于是由

                                     且  

 

若

设  

                                       (这是因为 ) ,

从而函数G（x） 单调递减 ，但是G(0) = 0 ,G(1)= 0   ,所以    所以  

若

  

从而函数G（x） 单调递增 ，但是G（0）=0 ，   所以     所以    则 M = 0 。

  总之，M始终都为0，这与假设相矛盾，因此，M只能为零。

总结：

a.本题很同意判断是主要考察的是微分总之定理

b.微分中值定理考察点：

1. 区间划分 找点 ： 找到合适的区间划分点划分区间， 然后在合适的小区间上使用微分中值定理得到结论。

2. 构造函数 ：

在不同的函数上使用微分中值定理。

（构造函数的目的是通过对新函数的性质讨论得到结论之后再转换到一只函数上面去。间微分中值定理的证明）

3.本题也使用到了构造函数，但是比较偏，并不是在构造函数上使用微分中值定理，而是求导 ，进而利用单调性。

4.由于是第二问，首先要用到第一问的结论，适当的推理变形后使用   。第二问增加了一个条件， ，这个就是破题点，如果我们把绝对值不等式咱开，在堪称某个函数的导数，变可以得到所构造的函数，然后通过对这个函数的研究得到优良的表达式之后再转回到原问题。

  

5. 总之这个题是个难题，

第一问还好点 ，如果稍微做练习多以一点，利用"二分法" ，和0，1 这样的特殊数字，以及通过缩放得到不等的方法很快得到结论 。 但是第二问，简单的想法是直接去整M等于零，但是无从着手；那么有朋友说用反正法，根据已知理所当然的要假设 ,假设大于零之后，下一步究竟做什么呢，真的很茫然 ，“但是抓住第二问的主要研究对象 M ，深入探讨M是个什么东西，那么就找到了研究方向。”

6. 请时刻注意数学中的“0”和“1”

 

总结：

朋友如果你看到这句话，我觉得你离学霸不远了，请你把这个题抄写10遍，一句一句的朝， 用一个礼拜来消化这个题，绝对值得。这对你的数学修养的提高，不只是一点点。 

结论：若函数f(x)在区间【c，d】具有连续导数

                                                

结论：若函数G(x)在区间【a，b】具有连续导数,