数学建模——相关系数（1）——皮尔逊相关系数（Person）

一、 相关系数专栏简介

• 本专栏内容设计讲解两种最为常用的相关系数：皮尔逊Person相关系数和斯皮尔曼Spearman等级相关系数。
• 相关系数可用来衡量两个变量之间的相关性的大小，根据数据满足的不同条件，我们要选择不同的相关系数进行计算和分析。
• 该部分是建模论文中最容易用错的方法。
• 关于如何使用Matlab、Spss、Excel等工具解决相关系数问题，将会在后面的部分单独写一篇博客进行讲解。
• 本专栏注重的方面是如何使用相关方法去解决对应的数学建模问题，而对于原理部分的讲解不会特别深入。

二、相关的基本数学概念

总体和样本

• 总体：所要考察对象的全部个体
• 样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
• 我们可以通过计算样本的统计量来估计总体的统计量
  • 例如：使用样本均值、样本标准差来估计总体的的均值（平均水平）和总体的标准差（偏离程度）

三、皮尔逊相关系数（Person）

1. 协方差（用于引出相关系数的定义）

• 协方差的大小表示的是两个变量的总体的误差。
• 协方差用于度量各个维度偏离其均值的程度。
• **若协方差的值为正值，则说明两者是正相关的；若为负值，则说明两者是负相关的；若为0，则就是统计上说的“相互独立”。**即，协方差为0时，两者独立。协方差的绝对值越大，两者对彼此的影响越大，反之，越小。
• 由协方差可以引出相关系数的定义。

参考资料链接：https://blog.csdn.net/GoodShot/article/details/79940438

• 我们观察协方差的公式，可以发现，X，Y（即，两个变量）的量纲会影响协方差的大小，因此并不适合比较大小，由此引出了相关系数。

2. 总体皮尔逊Person相关系数

• 观察总体Person相关系数的公式：我们发现皮尔逊相关系数可以看成消除了两个变量量纲影响，即将X和Y标准化后的协方差。 因此，我们可以使用皮尔逊相关系数来衡量两个变量线性相关的程度。

3. 样本皮尔逊Person相关系数

4.皮尔逊相关系数的使用范围

• 两个变量之间是线性关系，且是连续数据。
• 两个变量的总体是正态分布，或接近正态的单峰分布。
• 两个变量的观测值是成对的，且每对观测值之间相互独立。

四、需要注意的地方

1. 相关系数只是用来衡量两个变量线性相关程度的指标

2. 通过绘制散点图可以很容易地判定两个变量x和y之间的相关性

图片来源[美]作者Pang‐Ning Tan 《数据挖掘导论》

3. 非线性相关也会导致线性相关系数很大

该散点图对应的数据的person相关系数为0.816.

4. 离群点对相关系数的影响很大

该散点图对应的数据的person相关系数为0.816.若去掉离群点，相关系数为0.98

5. 如果两个变量的相关系数很大也不能说明两者相关。（因为必要的前提是这两个变量线性相关）

该散点图对应的数据的person相关系数为0.816.

6. 相关系数计算结果为0，只能说不是线性相关，但说不定会有更复杂的相关关系（非线性相关）

7. 在计算皮尔逊相关系数之前，一定要做出散点图来看两组变量之间是否有线性关系。（推荐使用Spss）

参考内容：清风数学建模