ACM-熄灯问题

问题描述

        有一个由按钮组成的矩阵,其中每行有 6 个按钮,共 5 行。每个按钮的位置上有一盏灯。当按下一个按钮后,该按钮以及周围位置(上边、下边、左边、右边)的灯都会改变一次。即,如果灯原来是点亮的,就会被熄灭;如果灯原来是熄灭的,则会被点亮。在矩阵角上的按钮改变 3 盏灯的状态;在矩阵边上的按钮改变 4 盏灯的状态;其他的按钮改变 5 盏灯的状态。在下图 8-1 中,左边矩阵中用 X 标记的按钮表示被按下,右边的矩阵表示灯状态的改变。与一盏灯毗邻的多个按钮被按下时,一次操作会抵消另一次操作的结果。在图 8-2 中,第 2行第 3、 5 列的按钮都被按下,因此第 2 行、第 4 列的灯的状态就不改变。根据上面的规则,我们知道:

1) 第 2 次按下同一个按钮时,将抵消第 1 次按下时所产生的结果。因此,每个按钮最多只需要按下一次。
2) 各个按钮被按下的顺序对最终的结果没有影响。
3) 对第 1 行中每盏点亮的灯,按下第 2 行对应的按钮,就可以熄灭第 1 行的全部灯。如此重复下去,可以熄灭第 1、 2、 3、 4 行的全部灯。同样,按下第 1、 2、 3、 4、 5 列的按钮,可以熄灭前 5 列的灯。

ACM-熄灯问题_第1张图片

一次按钮的按下操作改变灯的状态

ACM-熄灯问题_第2张图片

两次按钮的按下操作的结果被抵消

        对矩阵中的每盏灯设置一个初始状态。请你写一个程序,确定需要按下哪些按钮,恰好使得所有的灯都熄灭。

输入数据

        第一行是一个正整数 N,表示需要解决的案例数。每个案例由 5 行组成,每一行包括 6个数字。这些数字以空格隔开,可以是 0 或 1。 0 表示灯的初始状态是熄灭的, 1 表示灯的初始状态是点亮的。

输出要求

        对每个案例,首先输出一行,输出字符串“PUZZLE #m”,其中 m 是该案例的序号。接着按照该案例的输入格式输出 5 行,其中的 1 表示需要把对应的按钮按下, 0 则表示不需要按对应的按钮。每个数字以一个空格隔开。

输入样例

2
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 0 0
0 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 1
1 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 0

输出样例

PUZZLE #1
1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0
PUZZLE #2
1 0 0 1 1 1
1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
1 1 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1

解题思路

        为了叙述方便,按下图所示,为按钮矩阵中的每个位置分别指定一个坐标。用数组元素puzzle[i][j]表示位置(i, j)上灯的初始状态: 1 表示灯是被点亮的; 0 表示灯是熄灭的。用数组元素 press[i][j]表示为了让全部的灯都熄灭,是否要按下位置(i, j)上的按钮: 1 表示要按下;0 表示不用按下。由于第 0 行、第 0 列和第 7 列不属于按钮矩阵的范围,没有按钮,可以假设这些位置上的灯总是熄灭的、按钮也不用按下。其它 30 个位置上的按钮是否需要按下是未知的。因此数组 press 共有 230 种取值。从这么大的一个空间中直接搜索我们要找的答案,显然代价太大、不合适。要从熄灯的规则中,发现答案中的元素值之间的规律。不满足这个规律的数组 press,就没有必要进行判断了。
        根据熄灯规则,如果矩阵 press 是寻找的答案,那么按照 press 的第一行对矩阵中的按钮操作之后,此时在矩阵的第一行上:

  • 如果位置(1, j)上的灯是点亮的,则要按下位置(2, j)上按钮,即 press[2][j]一定取 1;
  • 如果位置(1, j)上的灯是熄灭的,则不能按位置(2, j)上按钮,即 press[2][j]一定取 0。这样依据 press 的第一、二行操作矩阵中的按钮,才能保证第一行的灯全部熄灭。而对矩阵中第三、四、五行的按钮无论进行什么样的操作,都不影响第一行各灯的状态。依此类推,可以确定 press 第三、四、五行的值。

        因此,一旦确定了 press 第一行的值之后,为熄灭矩阵中第一至四行的灯,其他行的值也就随之确定了。 press 的第一行共有 26 种取值,分别对应唯一的一种 press 取值,使得矩阵中前四行的灯都能熄灭。只要对这 26 种情况进行判断就可以了:如果按照其中的某个 press对矩阵中的按钮进行操作后,第五行的所有灯也恰好熄灭,则找到了答案。

ACM-熄灯问题_第3张图片

参考程序

#include 
using namespace std;
int puzzle[6][8],press[6][8];
bool guess(){
	/*根据 press 第一行和 puzzle数组,按照熄灯规则计算出 press 其他行的值,
 	使得矩阵第 1~4 行的所有灯都熄灭*/
	for(int r=1;r<5;r++){
		for(int c=1;c<7;c++){
			press[r+1][c]=
				(puzzle[r][c] + press[r][c] + press[r][c-1] + press[r][c+1] + press[r-1][c])%2;
		}
	}
	/*判断所计算的 press 数组能否熄灭矩阵第 5 行的所有灯。
	如果能够就返回“ true”,表示找到了答案;否则返回“ false”,表示没有找到答案。*/
	for(int c=1;c<7;c++){
		if((press[5][c] + press[5][c-1] + press[5][c+1] + press[4][c])%2 != puzzle[5][c]){
			return false;
		}
	}
	return true;
}
void enumate(){
	int c;
	//初始化 
	for(c=1;c<7;c++){
		press[1][c]=0;
	}
	/*对 press 第一行的元素 press[1][1]~ press[1][6]的各种取值情况进行枚举。
	在每种取值情况下,分别调用 guess(),看看是否找到了答案。*/
	while(guess() == false){
		press[1][1]++;
		c = 1;
		while(press[1][c] > 1){
			press[1][c]=0;
			c++;
			press[1][c]++;
		}
	}
	return;
}
int main()
{
	int cases;
	cin >> cases; 
	//采用一个 6×8 的矩阵表示,在计算 press[r+1][c]时,能够用一个共同的公式 
	for(int r=0;r<6;r++){
		press[r][0]=press[r][7]=0;
	}
	for(int c=1;c<7;c++){
		press[0][7]=0;
	}
	for(int i=1;i<=cases;i++){
		for(int r=1;r<6;r++){
			for(int c=1;c<7;c++){
				cin >> puzzle[r][c];
			}
		}
		enumate();
		//输出结果 
		cout<<"PUZZLE #"<

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