2020.03.21日常总结——思维题与全面的思考

$$\text{思维题——洛谷P4588 [TJOI2018]数学计算}$$

$\text{【题目】：}$ 你有一个数 $x$，初始为 $1$。你有两种操作，分别为：

• 1. 给定一个数 $m$，把 $x$ 变成 $x\times m$，然后输出 $x$ 对 $\text{mod}$ 取模的值。
• 2. 给定一个数 $t$，把 $x$ 变为 $x/$ 第 $t$ 次操作所乘的数。如第 $t$ 次操作所乘数为 $2$，则把 $x$ 变为 $\frac{x}{2}$。数据保证第 $t$ 次操作一定是操作 $1$，且每个操作最多被除一次，即保证 $x$ 在任何时候都是一个整数。操作后，输出 $x$ 对 $\text{mod}$ 取模的值。

$\text{【思路】：}$ 直接模拟会因为爆 long long 的问题导致代码非常复杂，甚至无法编写。

考虑强大的数据结构——线段树。建立一棵线段树，其叶子节点都是对于的乘数，每个非叶子节点的值为其左右儿子的值的乘积对 $\text{mod}$ 取模的值。这样，任意时候都有 $x=$ 该线段树的根的值。

操作 $1$ 可以直接上，操作 $2$ 可以看做是把第 $t$ 次的乘数改为 $1$。因此，我们只需要打一个线段树修改即可。

$【代码】：$

const int N=1e5+100;
#define ll long long
ll mod;int tot,G[N];
int test_number,q;
struct Segment_tree{
	ll sum[N<<2];//记得4倍空间 
	inline void pushup(int o){
		sum[o]=sum[o<<1]*sum[o<<1|1]%mod;
	}
	inline void build(int o,int l,int r){
		if (l==r){sum[o]=1ll;return;}
		register int mid=(l+r)>>1;
		build(o<<1|1,mid+1,r);
		build(o<<1,l,mid);
		pushup(o);return;
	}
	void updata(int o,int l,int r,int p,ll v){
		if (l==r){sum[o]=v;return;}
		register int mid=(l+r)>>1;
		if (p<=mid) updata(o<<1,l,mid,p,v);
		else updata(o<<1|1,mid+1,r,p,v);
		pushup(o);return;
	}
}SGT;
#define gc getchar()
#define g(c) isdigit(c)
inline ll read(){
	char c=0;ll x=0;bool f=0;
	while (!g(c)) f=c=='-',c=gc;
	while (g(c)) x=x*10+c-48,c=gc;
	return f?-x:x;
}
namespace fast_write{
	void write(ll a,bool b){
		if (a==0){
			if (b) putchar('0');
		}
		else{
			write(a/10,false);
			putchar(a%10+'0');
		}
	}
	void print(ll a,char c){
		write(a,true);
		putchar(c);
	}
}
int main(){
	test_number=read();
	while (test_number--){
		q=read();mod=read();
		SGT.build(1,1,q);tot=0;
		memset(G,0,sizeof(G));
		for(int i=1;i<=q;i++){
			int opt=read();ll t=read();
			if (opt==2) SGT.updata(1,1,q,G[t],1);
			else SGT.updata(1,1,q,G[i]=(++tot),t%mod);
			fast_write::print(SGT.sum[1]%mod,'\n');
		}
	}
	return 0;
}

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$$\text{洛谷P1575 正误问题}$$

$【链接】：$ https://www.luogu.com.cn/problem/P1575

$【思路】：$ 很简单，直接用一个栈模拟即可。如果 not 后面不是 true 或 false 的话，就输出 error。

#include 
using namespace std;
stack<bool> num;
stack<string> oper;
int cti(string s){
	if (s=="or") return 1;
	if (s=="and") return 2;
	if (s=="not") return 3;
	return 0;
} 
inline bool calc(){
	register bool x,y;
	if (num.size()){
		y=num.top();num.pop();
	}
	else return false;
	if (num.size()){
		x=num.top();num.pop();
	}
	else return false;
	string c=oper.top();oper.pop();
	if (c=="and") num.push(x&&y);
	else num.push(x||y);
	return true;
}
bool Not(string s){
	if (s=="true") return 0;
	if (s=="false") return 1;
}
string s;bool flag;
int main(){
	getline(cin,s);
	stringstream ss(s);
	while (ss>>s){
		if (s=="not"){
			if (ss>>s){
				if (s!="true"&&s!="false"){
					printf("error");
					return 0; 
				}
				else num.push(Not(s));
			}
			else{
				printf("error");
				return 0;
			}
			flag=false;
		}
		else if (cti(s)){
			if (num.empty()){
				printf("error");
				return 0;
			}
			while (oper.size()&&cti(oper.top())>=cti(s)){
				if (!calc()){
					printf("error");
					return 0;
				}
			}
			oper.push(s);
			flag=false;
		}
		else{
			if (flag){
				printf("error");
				return 0;
			}
			num.push(!Not(s));
			flag=true;
		}
	}
	while (oper.size()){
		if (!calc()){
			printf("error");
			return 0;
		}
	}
	if (num.size()!=1){
		printf("error");
		return 0;
	}
	if (num.top()) printf("true");
	else printf("false");
	return 0; 
}

可是，这样真的就 AC 了吗？不是，有 $1$ 个点错了。为什么？

因为数据中有如这样的情况 not not true，这种情况下我们的程序会输出 error，但是它实际上是应该输出 true 的。我们特殊处理即可。

#include 
using namespace std;
stack<bool> num;
stack<string> oper;
int cti(string s){
	if (s=="or") return 1;
	if (s=="and") return 2;
	if (s=="not") return 3;
	return 0;
} 
inline bool calc(){
	register bool x,y;
	if (num.size()){
		y=num.top();num.pop();
	}
	else return false;
	if (num.size()){
		x=num.top();num.pop();
	}
	else return false;
	string c=oper.top();oper.pop();
	if (c=="and") num.push(x&&y);
	else num.push(x||y);
	return true;
}
inline bool Not(string s){
	if (s=="true") return 0;
	else return 1;
}
string s;bool flag,sign;
int main(){
	getline(cin,s);
	stringstream ss(s);
	while (ss>>s){
		if (s=="not"){
			if (ss>>s){
				if (s!="true"&&s!="false"&&s!="not"){
					printf("error");
					return 0;
				}
				if (s=="true"||s=="false")
					num.push(Not(s));
				else{
					sign=false;
					while (ss>>s){
						if (s!="true"&&s!="false"&&s!="not"){
							printf("error");
							return 0; 
						}
						else{
							if (s=="not") sign=!sign;
							else{
								num.push(sign?Not(s):!Not(s));
								break;
							}
						}
					}
				}
			}
			else{
				printf("error");
				return 0;
			}
			flag=false;
		}
		else if (cti(s)){
			if (num.empty()){
				printf("error");
				return 0;
			}
			while (oper.size()&&cti(oper.top())>=cti(s)){
				if (!calc()){
					printf("error");
					return 0;
				}
			}
			oper.push(s);
			flag=false;
		}
		else{
			if (flag){
				printf("error");
				return 0;
			}
			num.push(!Not(s));
			flag=true;
		}
	}
	while (oper.size()){
		if (!calc()){
			printf("error");
			return 0;
		}
	}
	if (num.size()!=1){
		printf("error");
		return 0;
	}
	if (num.top()) printf("true");
	else printf("false");
	return 0; 
}
/*
注意！需要特殊判断如not not true这样的情况，
否则无法通过第七个测试点
*/

这提示我们，只有全面的思考，才能获得高分或者 AC！