python数据结构学习笔记-2016-10-21-01-复杂度分析

        程序执行时间取决于以下几个因素：

• 数据量；
• 硬件类型和执行时刻，关于执行时刻，按书中说是是否有其他程序在同时运行；
• 编程语言和编译器也是一大关键因素。

        4.1 复杂度分析

        评价一个算法的效率，可以数逻辑比较、数据交换以及算术运算的数目。

        比如说计算n×n矩阵的所有数值之和。

>>> totalSum = 0
>>> for i in range(n):
...     rowSum[i] = 0
...     for j in range(n):
...         rowSum[i] += matrix[i, j]
...         totalSum += matrix[i, j]

        在这一算法中，在内循环中，可以看到加法的执行次数是2，外循环没有执行加法，所以内外两个循环总共是执行了2n²次加法。

>>> totalSum = 0
>>> for i in range(n):
...     rowSum[i] = 0
...     for j in range(n):
...         rowSum[i] += matrix[i, j]
...     totalSum += rowSum[i]

       在这一算法中，在内循环中，加法的执行次数是1，外循环中的执行次数也是1，所以总共执行n²+n次加法。

       上述两个算法，在n数值较大时，基本上都是以n²数量级的执行次数。

       4.1.1 大O表示法

       对于一个算法，其步骤执行数为T(n)，n是数据量，则若存在正整数m和常数c，使得当n>m时，T(n)

       注意f(n)必须是最大上限。c被称为比例常数。

       当两个算法有相同的时间复杂度时，比例常数c就成为比较关键的因素。

       常数时间(constant time)，是指程序执行基本操作所需时间，对应O(1)。

       主项(dominant term)：是影响时间复杂度的主要因素。例如，一个算法的步骤执行次数是n²+log₂n+3n，显然其受n²项影响最大。

       算法分类

f(n)	名称
1	常数(constant)
log n	对数级(logarithmic)
n	线性级(linear)
n log n	线性对数级(log linear)
n²	平方级(quadratic)
n³	立方级(cubic)
aⁿ	指数级(exponential)

       
      4.1.2 评价python代码

      基本操作(basic operation)：不依赖于特定数值的语句和函数调用。基本操作的时间复杂度是O(1)。

      比如说

>>> x = 5

      就是基本操作。
 

>>> y = x
>>> z = x + y * 6
>>> done = x > 0 and x < 100

     这些也都是基本操作。

     线性级例子 O(n)

>>> def ex1( n ):
...     total = 0
...     for i in range( n ) :
...         total += i
...     return total

     

     平方级例子 O(n²) (在嵌套循环中多见，但不是所有嵌套循环都是平方级)

>>> def ex3( n ):
...     count = 0
...     for i in range( n ) :
...         for j in range( n ) :
...             count += 1
...     return count

      
      对数级例子 O(log n)

>>> def ex6( n ):
...     count = 0
...     i = n
...     while i >= 1 :
...         count += 1
...         i /= 2
...     return count

      线性对数级例子 O(n log n)

>>> def ex7( n ):
...     count = 0
...     for i in range( n )
...         count += ex6( n )
        return count

     不同情况

     执行以下代码

>>> def findNeg( intList ):
...     n = len(intList)
...     for i in range( n ) :
...         if intList[i] < 0 :
...             return i
...     return None

     如果是以下情况，显然程序的时间复杂度是O(n)，因为要将列表中所有元素都遍历，这被称之为最坏情况(worst case)。

>>> L = [ 72, 4, 90, 56, 12, 67, 43, 17, 2, 86, 33 ]
>>> p = findNeg( L )

     如果是以下情况，显然程序只需遍历一次即可，这被称之为最好情况(best case)。

>>> L = [ -12, 50, 4, 67, 39, 22, 43, 2, 17, 28 ]
>>> p = findNeg( L )

     介于两者之间的称为平均情况，是我们执行算法时碰到的大多数情况。

     但衡量一个算法的效率，还是要看最坏情况。