20160327_F_第四周（斯坦纳树）

待总结

【题目一】Hdu 3311

题意：给定n(n<=5)个必选点，和m(m<=1000)个辅助点，每个点有权值，以及带权无向边若干，求一棵代价最小的生成子树，使得n个必选点连通并且总权值最小。

题解：首先因为又有边权又有点权不好处理，所以我们先建一个虚拟点0，把所有点与0点连边，边权为该点的点权，那么就转化成了有n+m+1个点，求出这些点中使0-n这n+1个点连通的最小生成树。这个定义其实就是所谓的斯坦纳树。Steiner Tree是NP的，但是当必选点较少时，可以通过状态压缩DP来解，具体的DP状态是dp[x][1<

【题目二】Uva 5717

题意：图，n个点，m条边，问你建立至少包含前k个点和后k个点的最小生成树，也可能是森林，每棵树的前面点的个数要和后面点的个数相等。

题解：与一般的斯坦纳树不一样，就是它可能最后搞出来是森林，所以读入，先把斯坦纳树搞好，然后在做一遍DP，这遍DP比较简单，就是状态加加搞搞就好了，由于个数要一样，还要加一个check函数判断，即 d[ s ] = min（d[ s1 ] + d[ s - s ]），check(s) == 1 && check(s1) == 1。

【题目三】Zoj 3613

题意：有n个星球，其中有些星球上有多个工作，有些星球上有些资源（但是一个星球上的资源只能提供给一个工厂），知道在一些星球边建立边的代价，问使得得到资源的工厂的数目最多的多少，在些前提下代价最小是多少。

题解：最优解必然是一棵树，然后这棵树又是由若干棵子树合并成的，于是我们可以状态压缩，把k个节点的连通状态用一个二进制数j表示，dp[i][j]表示以i为根和对应状态为j的节点连通的子树的最小权值。有两种转移方法：

       枚举子树的形态：dp[ i ][ j ]=min{ dp[ i ][ j ]，dp[ i ][ k ]+dp[ i ][ l ] }，其中k和l是对j的一个划分。

       按照边进行松弛：dp[ i ][ j ]= min{ dp[ i ][ j ]，dp[ i' ][ j ]+w[ i ][ i' ] }，其中i和i'之间有边相连。

       

       对于第一种转移，我们直接枚举子集就行了。对于第二种转移，我们仔细观察可以发现这个方程和最短路的约束条件是很类似的，于是我们可以用spfa或者dij来进行状态转移。枚举子集的复杂度=n*sum{C(k，i)*2^i，0

【题目四】Fzu 1686

题意：这是个剑与魔法的世界.英雄和魔物同在,动荡和安定并存.但总的来说,库尔特王国是个安宁的国家,人民安居乐业,魔物也比较少.但是.总有一些魔物不时会进入城市附近,干扰人民的生活.就要有一些人出来守护居民们不被魔物侵害.魔法使艾米莉就是这样的一个人.她骑着她的坐骑,神龙米格拉一起消灭干扰人类生存的魔物,维护王国的安定.艾米莉希望能够在损伤最小的前提下完成任务.每次战斗前,她都用时间停止魔法停住时间,然后米格拉他就可以发出火球烧死敌人.米格拉想知道,他如何以最快的速度消灭敌人,减轻艾米莉的负担。

题解：题目就是典型的DLX可重复覆盖的模板，找到最小需要选几行，能够覆盖所有列，其中把n*m个点中的每一个1都当做一列。

【题目五】Spoj 1771

题目：N皇后问题，转化为精确覆盖问题。

题解：用DLX来做。

但是需要注意的有：

（1）行和列，斜线的hash

（2）搜的时候只用搜行或者列即可

（3）成功条件：d >=n

【题目六】

题意：公司内部共 n 个员工，员工之间可能两两合不来。若员工u 和员工 v 有矛盾，用边(u, v)表示，共 m 个矛盾。突然大股东送来一个富二代，威胁到你的CEO宝座。你想分配给富二代一个垃圾团队，使得团队成员间的不团结率最高。不团结率定义为团队人员间的矛盾总数与被裁人员数的比值（不团结率 = 团队人员之间的矛盾总数 / 团队人员数）。

题解：主算法:零一规划，用二分来猜测最大密度为g。。。构造函数h(g)=(|E'|-g*|V'|)

设D为最优解,

当h(g)<0,g>D;

当h(g)=0,g=D;

当h(g)>0,g

网络流建图部分: 在原图点集V 的基础上增加源S和汇T;将每条原无向边(u,v)替换为两条容量为1 的有向边(u,v)和(v,u);

增加连接源S到原图每个点v的有向边(s,v) , 容量为U ;

增加连接原图每个点v 到汇T 的有向边(v,T),容量为(U+2*g-dv) ,其中dv为点v的度。

其中U为为了流量不出现负值而统一加的一个大数,取U=m即可。

到此有h(g)=(U*n-c[S,T])/2;[S,T]为最小割。

推算过程见胡伯涛论文

【题目七】Hdu 3605

【题意】n个人，m个旅游景点，每个人已经选定一些景点。但是每个景点有人数限制，求能否满足每个人都有地方可去。

【题解】这是二分匹配的变型。

横轴为n个人，纵轴为m个旅游景点，

在匹配时判断景点的人数是否超出了，如果超出那么认为不能匹配；即可解决。

【题目八】Poj 2289

【题意】n个人，m个旅游景点，每个人选定一些景点。要求人数最多的景点的人数最少。

【题解】看到最少，一般想到二分法来判断。

建立网络流模型S ---> 游客 ---> 景点 ---> T

景点到T的路径限流，判断最大流是否等于n。

【题目九】Hdu 2255

【题意】n个人买n个房子，每个人买不同的房子的钱各不相同，要求开发商最终获益最大。

【题解】二分匹配  --->  二分最大权匹配

              熟悉一下KM算法，在匈牙利算法基础上增加了slack数组用于优化。

【题目十】Poj 2516

【题意】n个供应商，m个收购商，他们之间运费各不相同。而且商品有k个不同种类，求最终的费用最小。

【题解】把k中商品分开计算，对每种商品都考虑一次。

因为要求收购商能够满足自己的需求，所以是最大流；

在最大流情况下求最小费用，最终k个费用相加。

【题目十一】Hdu 1530

【题意】给你一个图，求最大团。

【题解】最大团的概念：从图中找一些点，这些点两两有边；且要求点数最多。

        采用的是搜索加剪枝的方法，每次加入一个点，看是否可以，然后决定舍弃还是留下。

【题目十二】Hdu 3639

【题意】n点有向图，f( i )表示能够到达点i的点数，输出f( i )最大的点有哪些，就是并列最大。

【题解】缩点，形成一个DAG。然后反向建图，这个时候入度为0 的缩点就是要求的点。

输出时记得把缩点中的每个点取出来。

【题目十三】 poj 2060

【题意】n个人打车出行，有始末点，出发时间，问至少需要几辆车？

【题解】假设乘客甲在 t 时刻出发由A到B，然后汽车再去乙的出发点C仍然来得及，那么两者可以连边。

注意是有向图，求最大匹配。

然后  最小路径覆盖 = 人数  -  最大匹配

【题目十四】 Hdu 4185

【题意】一个符号组成的矩阵，问有多少个##（或者竖着）

【题目】以前好像见过1*2的木片铺地板的，用dp来做。

这个600*600，使用KM匹配来做。

【题目十五】Hdu 2767

【题意】一个有向图，问要想变成强连通，至少加多少边？

【题解】首先要缩点，变为DAG；

然后计算入度为0点数x，出度为0点数y，x和y去最大值即可。

DAG其实就是拓扑图，出度为0的点向入度为0 的点连边就可以了。