自适应滤波（LMS，RLS）

1.背景及相关知识介绍

自适应滤波存在于信号处理、控制、图像处理等许多不同领域，它是一种智能更有针对性的滤波方法，通常用于去噪。

图中x（j）表示 j 时刻的输入信号值，y（j）表示 j 时刻的输出信号值，d（j）表示 j 的参考信号值或所期望响应信号值，误差信号e（j）为d（j）与y（j）之差。自适应数字滤波器的滤波参数受误差信号e（j）的控制，根据e（j）的值而自动调整，使之适合下一时刻的输入x（j+1），以便使输出y（j+1）接近于所期望的参考信号d(j+1)。

自适应滤波器可以分为线性自适应滤波器和非线性自适应滤波器。非线性自适应滤波器包括Voetlrra滤波器和基于神经网络的自适应滤波器。非线性自适应滤波器具有更强的信号处理能力。但是，由于非线性自适应滤波器的计算较复杂，实际用得最多的仍然是线性自适应滤波器。

自适应滤波算法广泛应用于系统辨识、回波消除、自适应谱线增强、自适应信道均衡、语音线性预测、自适应天线阵等诸多领域中。总之,寻求收敛速度快,计算复杂性低,数值稳定性好的自适应滤波算法是研究人员不断努力追求的目标。虽然线性自适应滤波器和相应的算法具有结构简单、计算复杂性低的优点而广泛应用于实际,但由于对信号的处理能力有限而在应用中受到限制。由于非线性自适应滤波器,如Voletrra滤波器和基于神经网络的自适应滤波器,具有更强的信号处理能力,已成为自适应信号处理中的一个研究热点。其中较典型的几种算法包括:

1. LMS自适应滤波算法
2. RLS自适应滤波算法
3. 变换域自适应滤波算法
4. 仿射投影算法
5. 共扼梯度算法
6. 基于子带分解的自适应滤波算法
7. 基于QR分解的自适应滤波算法

（以上内容摘自百度百科自适应滤波词条）

2.LMS算法和RLS算法介绍

（图片摘自书籍：殷福亮，宋爱军，数字信号处理C语言程序集，辽宁科学技术出版社，1997年7月，341-351）

3.例题

解：MATLAB编程实现

4 滤波器性能比较

由于LMS算法只是用以前各时刻的抽头参量等作该时刻数据块估计时的平方误差均方最小的准则，而未用现时刻的抽头参量等来对以往各时刻的数据块作重新估计后的累计平方误差最小的准则，所以LMS算法对非平稳信号的适应性差。RLS算法的基本思想是力图使在每个时刻对所有已输入信号而言重估的平方误差的加权和最小，这使得RLS算法对非平稳信号的适应性要好。与LMS算法相比，RLS算法采用时间平均，因此，所得出的最优滤波器依赖于用于计算平均值的样本数，而LMS算法是基于集平均而设计的，因此稳定环境下LMS算法在不同计算条件下的结果是一致的。在性能方面，RLS的收敛速率比LMS要快得多，因此，RLS在收敛速率方面有很大优势。

RLS算法在迭代过程中产生的误差明显小于LMS算法。由此可见，RLS在提取信号时，收敛速度快，估计精度高而且稳定性好，可以明显抑制振动加速度收敛过程，故对非平稳信号的适应性强，而LMS算法收敛速度慢，估计精度低而且权系数估计值因瞬时梯度估计围绕精确值波动较大，权噪声大，不稳定。