有限元分析的基本知识 (一份培训资料) (1)

一 概述
有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域 - 飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
有限元法分析计算的基本思想 (以结构位移法为例)
(1) 结构离散化
(2) 单元特性分析
选择位移模式
分析单元的力学性质
计算等效节点力
(3) 单元组集
(4) 求解未知节点位移
(5) 计算其它物理量 (结果恢复)

(1) 结构离散化
将连续体划分为若干小 “单元” 的集合。在相邻单元的边界上应满足一定的连续条件。
单元内部的物理量可以用单元 “节点” 处的相关物理量来表示。节点处的这些物理量统称为 “自由度”，其所代表的实际物理量如：节点位移、转角、温度、热流、电压、电流、磁通量、流速、流量等。单元节点的设置、自由度性质、数目等应视问题的性质，所描述物理量的变化形态的需要和计算精度而定。
然后，将各单元的节点物理量按一定方式组合到一起以代表整个结构。这样处理后，整个结构上的微分方程可以表示为用有限个节点上的物理量为未知数的代数方程。
用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。

(2) 单元特性分析
单元特性包括：单元中节点的个数及位置，相关物理量在单元中的分布函数等。
根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点自由度和单元内部物理量变化的关系式，这是单元分析中的关键一步。
此时需要应用相关的力学理论的几何和物理方程来建立相应的方程式，从而导出所需的单元矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。对于结构分析，主要是应变-位移关系、应力-应变关系、应变能方程等。
单元特性分析的重要内容是选择单元中物理量的变化函数。例如，结构分析的不同有限元方法有：
a. 位移法：以节点位移作为基本未知量称为位移法；
b. 力法：以节点力作为基本未知量称为力法；
c. 混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。
以结构位移法为例：
选择单元内部的位移模式 (形状函数) 以及与单元位移模式匹配的单元节点处的物理量，如：节点处的位移、转角(位移的一次导数)、曲率(位移的二次导数)。
最常用的形状函数是多项式函数。
选择节点自由度和单元形状函数后，就可以根据相应的几何、物理方程推导出相应的单元矩阵。

计算等效节点力
单元特性分析的另一个重要内容是建立单元的外部 “载荷” (包括单元之间的内部 “载荷”) 与单元节点物理量之间的关系。
物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力可以作用在单元的任意区域或位置 (体积力、分布面力、集中力等)，也可以在一个单元与相邻单元的公共边 (线、面) 之间进行传递。因而，这种作用在单元上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。

(3) 单元组集
即由单元的有限元特性组装整个结构的相关方程。包括施加载荷和各种约束条件等。
以结构位移法为例，即是利用节点处力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成以整个结构的节点物理量为未知数的有限元代数方程
(4) 求解未知节点位移
可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。
(5) 计算其它物理量
在求得整个结构的位移之后，可以根据相应单元所依据的的力学理论计算其它物理量，例如，一般弹性体的应力和应变、梁的截面内力 (剪力、轴力、弯矩和扭矩)、约束反力等。

有限元方法的发展
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。
(1) 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，目前又发展到求解几个交叉学科的问题。
例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。
(2) 由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。
例如：航空航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要考虑材料的非线性 (弹塑性) 问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，也只有采用非线性有限元算法才能解决。
(3) 增强可视化的前、后处理功能
随着数值分析方法的逐步完善和计算机运算速度的飞速发展，用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和结果的处理问题却日益突出。
在现在的工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有 80% 以上的精力都花在数据准备和结果分析上。
因此，强大的前、后处理功能既是广大用户对通用有限元软件的需要，也是衡量有限元软件水平的重要标志。
目前几乎所有的商业化有限元软件系统都有功能很强的前、后处理模块，使用户能以可视图形方式直观快速地进行几何建模、网格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图或相关曲线，便于极值搜索和所需数据的列表输出。

 (4) 与 CAD 软件的无缝集成 
 当今有限元软件系统的另一个特点是与通用 CAD 软件的集成使用， 即：在用 CAD 软件完成部件和零件的几何造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。 
 当今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的 CAD软件 (例如 Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、I-DEAS、Bentley 和 AutoCAD等) 的接口。 
 (5) 与其它计算方法的结合 
 最典型的就是与差分方法结合的 (时间) 瞬态分析，即时间采用差分，其它用有限元。 
 此外，新近出现的将有限元方法与边界元方法、能量统计方法等结合处理振动噪声问题 (法国 T-System 公司)等。这也是今后多学科交叉分析的发展方向之一。 

有限元软件
国际上早在 20 世纪 50 年代末、60 年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在 1965 年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的 NASTRAN 有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统之一。
此外，世界各地的研究机构和大学先后发展了一批专用或通用有限元分析软件，几经组合、变幻，目前较著名的有德国的 ASKA、英国的 PAFEC、法国的 SYSTUS、美国的 Nastran、ABAQUS、ANSYS、COSMOS、和 I-deas；以及原为美国 UG 公司 ，现被德国西门子公司收购的 NX 系列产品，等。

下面是有限元分析的几个实例：