向量代数：混合积、双重外积与拉格朗日恒等式

一. 混合积

        定义：向量 a与 b的外积仍是一个向量，因而它还可以与另一个向量 c做内积：( a× b) · c = |a×b||c|cosθ = |a×b|h。它成为a, b,c的混合积，记作(a, b, c) = (a×b)·c。如上图所示。

        几何意义：因|a×b|等于以a,b为邻边的平行四边形面积，故|(a, b, c)|等于以a, b, c为邻边的平行六面体的体积。

        性质：

1. (a, b, c) = (b,c, a) = (c, a,b) = -(b, a, c) = -(c,b, a) = -(a, c,b)；
2. (λa1 + μa2, b, c) = λ(a1,b, c) + μ(a2, b,c)，对任意实数λ, μ成立；
3. 若{e1, e2, e3}是互相正交的组成右手系的单位向量，则(e1,e2, e3) = 1；
4. a, b, c共面的充要条件是：(a,b, c) = 0。

• 应用混合积求解不同坐标系间的坐标转换问题：

        设 a, b, c为三个不共面的向量。求任意向量 d关于 a, b, c的分解式 d = x a + y b +z c。

解：根据向量加法的性质， d可以表示成上式。两边与 b, c取混合积，得

( d, b, c) = (x a+y b+z c, b, c)

              =((x a+y b+z c)× b) ·c

              =(xa×b+yb×b+zc×b)·c

              =(xa×b+zc×b)·c               （根据外积的性质，b×b = 0）

              =(xa×b)·c + (zc×b)·c

              =x(a, b, c)                          （根据外积性质，c×b与c正交，据内积性质，(c×b)·c = 0）

因为(a, b, c)不共面，所以(a,b, c) ≠ 0，于是解得 x = (d, b, c)/(a, b, c)，同理可得 y = (a, d, c)/(a,b, c)，z = (a, b,d)/(a, b, c)。这其实就是解线性代数方程组的克莱姆法则。

二. 双重外积公式与拉格朗日恒等式

双重外积公式：( a× b)× c = b( a ·c) - a( b ·c).

拉格朗日恒等式：( a× b) ·(c×d) = (a·c)(b·d) - (a·d)(b·c).

证拉格朗日恒等式：

( a× b) ·(c×d) = (c,d, a×b)    （根据混合积定义：(a,b, c) = (a×b)·c）

                      = (a×b,c, d)     (根据混合积性质: (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b))

                      = ((a×b)×c)·d

                      = (b(a·c) -a(b·c))·d

                      = (a·c)(b·d) - (a·d)(b·c).

三.参考

[1] 苏步青. 空间解析几何. 上海：上海科技出版社，1984