且听风吟0618

傅里叶分析概述

1概述

2周期信号的频谱

2.1周期信号

2.2复数

2.3欧拉公式

2.4傅里叶级数

2.5幅值频谱

2.6相位频谱

2.7双边频谱

小结

3非周期信号的频谱

3.1非周期信号

3.2傅里叶变换

3.3频谱图

小结

4常用性质

4.1频移性

4.2卷积定理

5单位脉冲信号

特性

6周期函数的傅里叶变换

7周期单位脉冲信号

8采样与复原

8.1采样

8.2采样定理

8.3混频

8.4复原

8.5泄漏

9离散傅里叶变换（DFT）

10二维傅里叶变换

10.1性质

10.2频谱与相角

频谱

相角

10.3二维离散卷积定理

10.4 DFT的卷积混叠

结语

参考文章

1概述

法国数学家 Jean Baptiste Joseph Fourier（吉恩.巴普提斯.约瑟夫.傅里叶）在1807年发表的传记和1822年出版的《热分析理论》一书中指出：无论函数多么复杂，只要它是周期的，并且满足某些适度的条件，都可以表示为不同频率的正弦和（或）余弦函数之和的形式，每个正弦和（或）余弦函数都乘以不同的系数（现称之为傅里叶级数）。

如图1所示，多个正余弦信号叠加，即可得到方波信号，而通过傅里叶级数即可逆向将方波信号分解为多个正余弦信号之和。

图1 方波信号

甚至是非周期函数（曲线下的面积有限）也可以用正弦和（或）余弦函数乘以加权函数的积分来表示（傅里叶变换）。用傅里叶级数或变换表示的函数特征完全可以通过傅里叶反变换来重建，且不会丢失任何信息。

2周期信号的频谱

2.1周期信号

$periodic\ signal \left\{\begin{matrix} sines\ and\ cosines\ signal \\ \\ complex\ periodic\ signal \end{matrix}\right.$

周期信号是按一定时间间隔周而复始，无始无终的信号，其数学表达式为：

$x(t)=x(t+nT)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (n=\pm 1,\pm 2\ ...)$

式中，T 表示周期。

周期信号可进一步分为简单周期信号，即正余弦信号（也称为简谐信号或谐波），和复杂周期信号，如方波。两者最大的不同在于频率结构上分别为单频和多频。

如图2.1.1即为一个f=400MHz的正弦波，其表示为做圆周运动的点在直线上的投影。

图2.1.1 f=400MHz的正弦波

常见的周期信号是正余弦信号，两者可以相互转化。其中正弦信号的数学表达式为： $x(t)=Asin(\omega _0t+\theta )$

图2.1.2 正余弦信号

由于正余弦信号只含有一个频率成分 ${\color{Red} \omega _0}$ ，从这点看，上式不仅是其时域描述也是其频域描述，无需进行变换，可时域与频域是合二为一的，因此适合将其做为合成其他任意信号的基本信号。而对于复杂周期信号，由于其是多频结构，无法直接观察其频率构成，故需要先将其转换为多个不同频率的正余弦信号之和，而这个工具就是“傅里叶级数”。

【注】：信号不仅能分解为正余弦信号，也可以分解为其他信号，如幂级数展开、泰勒展开，但在工程应用中为了简化问题的需要，故将其分解为正余弦信号。

2.2复数

复数C的定义如下：

其中，R 和 I 皆为实数，分别表示复数C的实部（Real part）和虚部（Imaginary part），而则表示等于 -1 平方根的虚数，即 $j=\sqrt{-1}$ ，复数C的共轭复数 $\bar{C}$ 表示为

$\bar{C}=R-jI$

从几何角度来看，复数可视为复平面上的一个点，横坐标为实轴（R的值），纵坐标为虚轴（I 的值），即点。同时，在极坐标下，复数C可表示为：

$C=\left | C \right |(cos\theta + jsin\theta)$

同时，由欧拉公式可得：

$C=\left | C \right |e^{j\theta}$

其中 $\left | C \right |=\sqrt{R^2+I^2}$ 是复平面的原点到点的向量的长度， $\theta=arctan(\frac{I}{R})$ 是该向量与实轴的夹角，以图2.2.1和图2.2.2为例，分别表示 $\left | C \right |=1$ 时和 $\left | C \right |=a$ 时复数 C 在复平面上的点。

图2.2.1 |C|=1时，复平面表示

图2.2.2 |C|=a时，复平面上的点

注意：计算 $\theta$ 时，因为 arctan函数的值域为 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ ，且 R 和 I 可独立地为正或负，因此需要追踪 R 和 I 的符号来进行计算，得到全域 $[-\pi},\pi]$ 的解，如在python中，可通过调用函数：atan2(Imag, Real) 来实现。例如，复数得极坐标是 $\sqrt{2}e^{j\theta}$ ，其中 $\theta=45^{\circ}$ 。
import math

c1 = 1 + 1j                                     # 定义复数 1+1j
c2 = c1.conjugate(c1)                         # 得到复数c1的共轭复数 1-1j
c3 = -c1                                      # 得到复数c1的相反数  -1-1j
math.degrees(math.atan2(c1.imag, c1.real))    # atan2函数的返回值为弧度，转为角度后为45.0度
math.degrees(math.atan2(c3.imag, c3.real))    # -135.0

以上公式还可应用于复函数，如变量的复函数可以表示为，共轭复函数，幅值 $\left | F(u) \right |=\sqrt{R(u)^2+I(u)^2}$ ，角度 $\theta=arctan[\frac{I(u)}{R(u)}]$ 。

2.3欧拉公式

$e^{\pm j\omega t}=cos(\omega t) \pm jsin(\omega t)$

$cos(\omega t)=\frac{1}{2}(e^{-j\omega t}+e^{j\omega t})$

$\sin(\omega t)=\frac{1}{2}j(e^{-j\omega t}-e^{j\omega t})=\frac{1}{2j}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})$

欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。如图2.3所示。

图2.3 欧拉公式

【推导】（准确说是验证）：

先对如下三个函数进行幂级数展开：

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+... \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=0,1,...$

   $cosx=1-x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+... \ \ \ \ \ \ \ \ n=1,2,...$

   $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+...+\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+... \ \ \ \ \ \ \ \ n=1,2,...$

将 $x=j\theta$ 带入上式可得：

   $e^{j\theta}=1+(j\theta)+\frac{(j\theta)^2}{2!}+\frac{(j\theta)^3}{3!}+\frac{(j\theta)^4}{4!}+\frac{(j\theta)^5}{5!}+... \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=0,1,... \\ =1+j\theta-\frac{\theta^2}{2!}-\frac{j\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{j\theta^5}{5!}+... \\=(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-...)+j(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-...)$

   $=cos\theta+jsin\theta$

即可推广至出欧拉公式的一般形式

2.4傅里叶级数

一个周期为T的信号，如果满足狄里赫利条件，即在一个周期内：

处处连续或存在有限个间断点
有限个极值点
绝对可积

则此信号可以展开为傅里叶级数，其有三个等价公式：

${\color{Red} x(t)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty }[a_ncos(n\omega _0t)+b_nsin(n\omega _0t)]\ \ \ \ \ n=1,2, ...}$ (1-1)

$x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }A_ncos(n\omega _0t+\theta )\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=\pm 1,\pm 2, ...$ (1-2)

$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }C_ne^{jn\omega _0t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=\pm 1,\pm 2, ...$ (1-3)

式(1-1) 主要用于数学展开，其中： $\omega_0=\frac{2\pi }{T}$ ， $a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)dt$ ， $a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)cos(n\omega _0t)dt$ ， $b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)sin(n\omega _0t)dt$ 。

式(1-2)主要用于作频谱图，由式(1-1)中的正、余弦项合并而成，其中： $A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ ， $\theta _n=-arctan(\frac{b_n}{a_n})$ 。

式(1-3)主要用于数学推导，由式(1-1)结合欧拉公式得到，其中： $C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega _0t}dt=\frac{1}{2}(a_n-jb_n)$ 。

是一个常数，不随时间变化的静态量（或称直流分量）。当 n=1 时，所对应的正、余弦项称为基波，频率 $\omega_0$ 称为基频，其次依次为二次谐波（n=2，频率为 2 $\omega_0$ ），三次谐波，...，n次谐波（频率为 $n\omega_0$ ），也就是说：频域轴的基本单位就是 ${\color{Red} \omega_0}$ 。

【注意】：在作幅值频谱图和相位频谱图时，式(1-2)和(1-3)皆以 $n\omega_0$ 为横坐标，不过在幅值频谱图中，式(1-2)中以为纵坐标，式(1-3)则以 $\left | C_n \right |$ 为纵坐标。在相位频谱图中，式(1-2)以 $\theta_n$ 为纵坐标。

如图2.4.1所示，橙色圆表示 $\frac{4}{\pi}sin\theta$ 的正弦波形，绿色圆表示 $\frac{4}{3\pi}sin(3\theta)$ 的正弦波，蓝色圆表示 $\frac{4}{5\pi}sin(5\theta)$ 的正弦波形，红色圆表示 $\frac{4}{7\pi}sin(7\theta)$ 的正弦波形。将橙色圆与绿色圆相叠加，即 $\frac{4}{\pi}sin\theta+\frac{4}{3\pi}sin(3\theta)$ ，即可组成右侧的绿色的波形，将这四个正弦波全部叠加，即 $\frac{4}{\pi}sin\theta+\frac{4}{3\pi}sin(3\theta)+\frac{4}{5\pi}sin(5\theta)+\frac{4}{7\pi}sin(7\theta)$ ，即可组成右下角的红色波形，已越来越接近方波了，其实依此规律继续叠加，最终将得到周期方波的图像。

图2.4.1 不同正弦分量的叠加

如图2.4.2所示，最前面（左边）的黑色的近似矩形的线，就是后面各种颜色波形的叠加状态，而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，不同颜色则代表着不同振幅、频率及相位的不同波形。当然，上图每两个正弦波之间都还有一条直线，这代表着振幅为 0 的正弦波，也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。

图2.4.2 傅里叶级数

注意：振幅为0的正弦波不一定存在，根据实际波形而定，如周期方波的仅包含奇数次正弦波，偶数次正弦波和余弦波皆为0。

注意：静态量可以理解为频率为0时的波，其是一个常数，在图中也就是一条直线，所以也称为直流分量，其仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下但不改变波的形状

定量地看，式(1-2)中的两个随整数 n 变化的函数序列和 $\theta_n$ 分别代表各次谐波分量的幅值和初相角，当谐波频率 $n\omega_0$ 作离散变化时，和 $\theta_n$ 都有确定的值与之相对应，这两个对应关系分别称为 “幅值频谱” 和 “相位频谱”，共同来反应周期信号的频率结构。

2.5幅值频谱

以下图为例，幅值频谱即为从该图像的侧面看过去，不同颜色的正弦波所投影到侧边平面上的图像。其中波形的频率即对应幅值频谱的横轴，波形的幅值对应了幅值频谱图的纵轴。

图2.5.1 空间表述

投影后的幅值频谱图如下图所示：

图2.5.2 幅值频谱

2.6相位频谱

幅值频谱投影到了侧面，而相位谱即为波形在下方的投影，但此处为间接投影。

图2.6.1 相位频谱

如下图所示，对于正弦分量来说，小红点（一个周期内，导数>0的曲线与横坐标的交点）与纵坐标的距离即为正弦信号所移动的时间差，记为 $\Delta t$ ，而 $\frac{\Delta t}{T}*2\pi$ 即为相位。故波形在下侧的投影并不能直接表示为相位频谱，还需要对其时间差进行转换，得到相位值，进而得到相位频谱。同理，对于余弦分量来说，小红点（一个周期内，距离频率轴最近的波峰）在横坐标上的投影点用橘黄色点表示，其与纵坐标的距离即为余弦分量所移动的时间差，进而再转换为相位。

图2.6.2 正余弦函数

2.7双边频谱

除了根据式(1-2)来描绘频谱图外，还可以使用式复数指数函数(1-3)来进行描述。但根据欧拉公式，三角式中的的一项对应到指数式中就变为了两项，多了一个频率为 $-n\omega_0$ 的分量，但同时因为 $\left | C_n \right |=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}=\frac{1}{2}A_n$ ，故幅度值也会减为原来的一半。即图像变为了以纵轴对称的形式。以某一正弦分量为例：

$Asin(n\omega_0t)=j\frac{A}{2}(e^{-jn\omega_0t}-e^{jn\omega_0t})$

对上式作频谱图，如图2.7.1所示，左边按三角式 $Asin(n\omega_0t)$ 所作的称为单变频谱，右边按指数式 $j\frac{A}{2}(e^{-jn\omega_0t}-e^{jn\omega_0t})$ 所作的称为双边频谱。

图2.7.1 单变与双边频谱

【注意】：两个频谱在理论上是等效的，只不过双边频谱中的 “负频率” 在实际工程中并不存在，近视数学处理的结果。

【实例】：如图2.7.2所示，求周期方波的傅里叶级数及其频谱图

   $x(t)=\left\{\begin{matrix} 1, \ \ 0\leq t\leq \frac{T}{2}& \\ -1, \ \ -\frac{T}{2}\leq t \leq 0& \end{matrix}\right.$

图2.7.2 周期方波信号

解：(1) 一个周期内，波形在横轴上下所围成的面积相等，故 $a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)dt=0$

(2)  是奇函数， $cosn\omega_0t$ 是偶函数，所以 $x(t)cosn\omega_0t$ 为奇函数（奇函数在一个对称区间内的积分值为零），因此

$a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)cos(n\omega_0t)dt=0$

(3) 故此周期方波信号仅有正弦分量构成，其各次正弦波的幅值：

   $b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)sin(n\omega_0t)dt=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^0\ -1\ sin(n\omega_0t)dt+\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}\ 1\ sin(n\omega_0t)dt$

$=\frac{2}{n\pi}[-cos(n\pi)+1]=\frac{2}{n\pi}[-(-1)^n+1]=\left\{\begin{matrix} 0, \ \ \ n=2,4,...& \\ \frac{4}{n\pi}, \ \ n=1,3,...& \end{matrix}\right.$

(4) 故最终此周期方波信号的傅里叶级数如下，不含静态分量，仅含奇次谐波。

$x(t)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty }[a_ncos(n\omega _0t)+b_nsin(n\omega _0t)]\ \ \ \ \ n=1,2, ...$

   $={\color{Red} \frac{4}{\pi}(sin(\omega_0t)+\frac{1}{3}sin(3\omega_0t)+\frac{1}{5}sin(5\omega_0t)+...)}$

(5) 其幅值和相角分别为： ${\color{Red} A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}=\left | b_n \right |=\frac{4}{n\pi}}$

${\color{Red} \varphi_n=-arctan\frac{b_n}{a_n}=-90^{\circ}}$

作其频谱图如图2.7.3所示：

图2.7.3 周期方波信号的幅值和相角

小结

周期信号所含的各分量的频率是离散的。
各次谐波的频率关系具有谐波性，即各次谐波的频率都是基频 $\omega_0$ 的整数倍或之比都是有理数（各分量的频率有公倍数），相邻频率间隔为 $\omega_0$ 或其整数倍。
复杂周期信号的幅值频谱是收敛的，即谐波的频率越高，其幅值越小，在整个信号中所占的比重也就越小。

3非周期信号的频谱

3.1非周期信号

$aperiodic\ signal \left\{\begin{matrix} quasi\ periodic\ signal\\ \\ transient\ signal \end{matrix}\right.$

多个正余弦信号叠加，如果任意两个分量的频率之比不是有理数（或没有公倍数），那么合成的信号就不是周期信号

$x(t)=A_1sin(\sqrt{2}t+\theta_1)+A_2sin(3t+\theta_2)+A_3sin(3\sqrt{7}t+\theta_3)$

该信号即为一种非周期信号，但其频谱图仍然是离散的，保持着部分周期信号的特点，故称这种信号为 “准周期信号”。

【注】：在工程领域，多个独立的振动源共同作用所引起的振动往往属于这类信号。

在非周期信号中，除了准周期信号，还有瞬变信号，且通常非周期信号就是指瞬变信号，如下图所示，皆为常见的非周期信号，其中，(a)为矩形脉冲信号，(b)为指数衰减信号，(c)为截断的余弦信号，(d)为单脉冲信号。

图3.1 常见的非周期信号

3.2傅里叶变换

非周期信号不能直接通过傅里叶级数来进行分解，但可通过其概念的引申来加以解决，即把非周期信号仍视为周期信号，只是认为其周期极大，在无限远处重复。在周期信号的频谱图中，其频率间隔 $\Delta \omega=\omega_0=\frac{2\pi}{T}$ ，此时，因周期 $T\rightarrow \infty$ 则使得 $\Delta \omega$ 即 $\omega_0\rightarrow 0$ ，这就意味着随着周期的无限扩大，其频率间隔变为了一个微量 $d\omega$ ，也就是说其频率间隔无限缩小，以致于离散的频谱变为了一条连续的曲线。即非周期信号可分解为无限多个频率极其接近的正余弦分量的合成。

傅里叶变换的复指数公式（也称为傅里叶变换对）如下：

$X(f)=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ (1-4)

$x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}df$ (1-5)

如图3.2.1所示，傅里叶级数的分析图为无限的离散量：

图3.2.1 傅里叶级数分析

如图3.2.2所示，傅里叶变换的分析图为无限的连续量：

图3.2.2 傅里叶变换分析

【推导】：

根据周期信号式(1-3)的复指数表达式：

   $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }C_ne^{jn\omega _0t}$

其中     $C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega _0t}dt$

将  带入得： $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\ \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt\ ]e^{jn\omega_0t}$

当周期信号向非周期信号转变时，即 $T\rightarrow \infty$ ，此式有两个变化：

无限项连加变为了连续的积分。

局部 $(-\frac{T}{2},\ \frac{T}{2})$ 变为整个时间轴 $(-\infty,\ \infty)$ 。

因为 $\frac{1}{T}=\frac{\Delta \omega}{2\pi}$ ，且 $T\rightarrow \infty$ ，故 $\Delta \omega \rightarrow d\omega$ （趋于无限小），即离散变化的频率 ${\color{Red} n\omega_0}$ 变为连续变化的频率 ${\color{Red} \omega}$ 。

于是得到：    $x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}[\ \frac{{\color{Red} d\omega}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j{\color{Red} \omega} t}dt\ ]e^{j{\color{Red} \omega} t}$

$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\color{Blue} [\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\ ]}\ e^{j\omega t}d\omega$

此时，中括号中蓝色部分为 $\omega$ 的函数，记为： ${\color{Blue} X(\omega)}=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$ ，则 $x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$ 。

这样  与 $X(\omega)$ 之间就建立起了确定的对应关系，称为 “傅里叶变换对”，表示为： ${\color{Red} x(t)\Leftrightarrow X(\omega)}$ 。其中 $x(t)\rightarrow X(\omega)$ 为傅里叶（正）变换， $X(\omega)\rightarrow x(t)$ 称为傅里叶逆变换，也称为傅里叶积分。由于傅里叶变换对中出现了常数项 $\frac{1}{2\pi}$ 在运算中造成不便，故，采用 ${\color{Red} f=\frac{\omega}{2\pi}}$ 来代替 $\omega$ ，消除了   $\frac{1}{2\pi}$ ，即可得到最终的式(1-4)、(1-5)的傅里叶变换对。

其三角表达式如下，不同于周期信号的离散和，非周期为连续和。

$x(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left | X(f) \right |\ cos[ft+\angle X(f)]\ df$

3.3频谱图

通常是复变函数，可以写为：，也可表示为： $X(f)=\left | X(f) \right |e^{\angle X(f)}$ ，则

$\left | X(f) \right |=\sqrt{Re^2(f)+Im^2(f)}$ (1-6)

$\angle X(f)=arctan[\frac{Im(f)}{Re(f)}]$ (1-7)

其中，和分别称为非周期信号的实频谱和虚频谱。 $\left | X(f) \right |$ 称为非周期信号的 幅值密度频谱 或 幅值谱密度，也可简称为幅值频谱， $\angle X(f)$ 称为非周期信号的相位频谱。

【注意】：“幅值密度” 与 “幅值” 的概念是不同的。

对比傅里叶级数与傅里叶积分的表达式：

$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn2\pi f_0t}$

$x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}df$

可以看出，非周期信号的 $X(f)\cdot df$ 与周期信号的  相对应，因为 $\left | C_n \right |=\frac{A_n}{2}$ 代表周期信号中各谐波的幅值，故 $\left | X(f) \right |\cdot df$ 也应代表非周期信号中各谐波的幅值。然而，因为  是一个无穷小量，故 $\left | X(f) \right |\cdot df$ 也为无穷小量，这就意味着非周期信号中所含各谐波分量的幅值均趋于0。

从能量的角度考虑，由于具有无穷多个频率分量，所以每个频率分量的能量，即幅值也就减为了无穷小量，但是，信号的能量不会因信号的分解而消失为0，可以肯定的是，信号的能量分布肯定存在，虽然每个分量为无穷小量，但在不同频率的分量上，幅值的分布仍将不同。因此，作非周期信号的频谱图不能直接照搬周期信号的方法（直接用谐波分量的幅值来表示），而需要作进一步的分析以寻找合适的量。

故此处对 $\left | X(f) \right |\cdot df$ 除以  ，将 $\left | X(f) \right |$ 与  分离，使其不再是无穷小量，由于  在概念上为频率宽度（频宽），所以 $\left | X(f) \right |$ 就是非周期信号在单位频宽上的幅值，也就是说，其代表了非周期信号中谐波的幅值密度与频率的对应关系。

如下图所示的幅值密度频谱（简称幅值频谱），频率  处的谐波幅值 $\left | X(f) \right |\cdot df$ 为无穷小，而单位频宽上的幅值 $\left | X(f) \right |$ 可视为 $\left | X(f) \right |\cdot1$ ，其值不再为无穷小。

图3.3.1 幅值密度频谱

【例】：

1、如图3.3.2(a) 所示，求单边指数脉冲的频谱

$x(t)=\left\{\begin{matrix} Ee^{-at}\ (a> 0),\ \ t\geq 0\\ \\ 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t<0 \end{matrix}\right.$

图3.3.2 单边指数脉冲

解：该非周期信号的频谱函数为：

$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$

$=\int_{{\color{Red} 0}}^{\infty}Ee^{-at}e^{-j\omega t}dt$

${\color{Blue} =\frac{E}{a^2+\omega^2}(a-j\omega)}$

实频谱 $Re(f)=\frac{E}{a^2+\omega^2}\ a$ ，虚频谱 $Im(f)=-j\frac{E}{a^2+\omega^2}\ \omega$ 。

幅值频谱（如图3.3.2(b)所示）： ${\color{Blue} \left | X(\omega) \right |}=\sqrt{Re^2(f)+Im^2(f)}{\color{Blue} =\frac{E}{\sqrt{a^2+\omega^2}}}$

相位频谱（如图3.3.2(c)所示）：    ${\color{Blue} \varphi (\omega)}=\arctan [\frac{Im(f)}{Re(f)}]{\color{Blue} =\arctan (-\frac{\omega}{a})}$

2、如图3.3.3(a) 所示，求单个矩形脉冲（矩形窗函数）的频谱

$x(t)=\left\{\begin{matrix} h,\ \ \ \ \left | t \right |<\frac{\tau }{2}\\ \\ 0,\ \ \ \ \ \left | t \right |\geq \frac{\tau}{2} \end{matrix}\right.$

图3.3.3 矩形脉冲信号

解：该矩形脉冲频谱函数为：（波形图如图3.3.3(d)所示）

$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi f t}dt$

   $=\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}he^{-j2\pi ft}dt$

   $=\frac{h}{-j2\pi f}(e^{-j\pi f\tau}+e^{j\pi f\tau})=h\tau\frac{\sin (\pi f\tau)}{\pi f\tau}$

   $={\color{Blue} h\tau \sin(c\pi f\tau)}$

其中 $\sin cx=\frac{\sin x}{x}$ ，只有实部没有虚部， $Re(f)=h\tau \sin(c\pi f\tau)$ ，。

其幅值频谱（如图3.3.3(b)所示）：    ${\color{Blue} \left | X(f) \right |}=\sqrt{Re^2(f)+Im^2(f)}{\color{Blue} =h\tau \left | \sin (c\pi f\tau) \right |}$

其相位频谱（如图3.3.3(c)所示）：    ${\color{Blue} \varphi (f)}=\arctan [\frac{Im(f)}{Re(f)}]{\color{Blue} =\arctan \frac{0}{h\tau \sin (c\pi f\tau)}}$ ${\color{Blue} \varphi (f)=\left\{\begin{matrix} \pi ,\ \ \ \ \sin (c\pi f\tau)<0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2n+1)\frac{1}{\tau}<\left | f \right |<(n+1)\frac{2}{\tau}\ \ \ \ \ n=0,1,2,... \\ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 0,\ \ \ \ \ \sin(c \pi f\tau)>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ otherwise \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.}$

小结

非周期信号的频谱是连续的，这是与周期信号频谱最大的区别。
虽然周期信号也含有 $0\sim \infty$ 的无穷多个频谱成分，但都是可列的，而非周期信号含有 $0\sim \infty$ 的所有频谱成分，是无穷的不可列的。

4常用性质

表4 傅里叶变换常用性质
性质	时域	频域	解释
线性叠加性			属于线性运算
对称性			如图4.x

展缩性		$\frac{1}{\left \| k \right \|}X(\frac{f}{k})$	时域缩窄，频域加宽变矮，如图4.x

时移性	$x(t\pm t_0)$	$X(f)e^{\pm j2\pi ft_0}$	时域移动，则频域乘虚指函数，即幅值谱不变，相位谱旋转 $2\pi ft_0$ 的相位角（时域左移 +，相位谱顺时针旋转 +），如图4.x
时移性	$x(t\pm t_0)$	$X(f)e^{\pm j\omega t_0}$

频移性	$x(t)e^{{\color{Red} \mp} j2\pi f_0 t}$	$X(f\pm f_0)$	时域乘虚指函数，即旋转 $2\pi f_0 t$ 度，则频谱移动（时域逆时针 -，频域左移 +）
频移性	$x(t)e^{{\color{Red} \mp} j\omega_0 t}$	$X(\omega\pm \omega_0)$	注意： $2\pi f_0$ 变为 $\omega_0$ ，频谱相应变为 $\omega\pm \omega_0$
卷积定理	$x(t) \cdot y(t)$	$X(f) \bigstar Y(f)$	时域的乘积对应频域的卷积
卷积定理	$x(t) \bigstar y(t)$	$X(f) \cdot Y(f)$	时域的卷积对应频域的乘积

4.1频移性

时域信号乘以虚指函数 $e^{{\color{Red} -}j\omega_0 t}$ （逆时针旋转 $\omega_0t$ ），等效于频谱向左平移 $\omega_0$ （+）。该性质反过来就是时移性：频域信号乘以虚指函数 $e^{{\color{Red} -}j\omega_0 t}$ （相位谱逆时针旋转 $\omega_0t$ ），等效于时域信号向右平移 （-）。简单说，就是时移性的符号是相同的，而频移性符号相反。

建立在频移性质上的频谱搬移技术在测试系统和通信系统中有着广泛的应用，如调幅、同步解调、变频等。实际中，频谱搬移是通过将时域信号乘以物理上能够产生的 ${\color{Red} \cos \omega_0t}$ 或 ${\color{Red} \sin \omega_0t}$ 来实现的，其会将 ${\color{Red} x(t)}$ 的频谱 ${\color{Red} X(\omega)}$ 一分为二（幅值减半），然后向左向右各平移 ${\color{Red} \omega_0}$ 。

【例】：

由欧拉公式可知： $\cos \omega_0t=\frac{1}{2}(e^{-j\omega_0t}+e^{j\omega_0t})$ ， $\sin \omega_0t=\frac{1}{2}j(e^{-j\omega_0t}-e^{j\omega_0t})$

故：    $F[\ x(t)\cdot \cos \omega_0t\ ]$

   $=\frac{1}{2}[\ F[\ x(t)e^{-j\omega_0t}\ ]+F[\ x(t)e^{j\omega_0t}\ ]\ ]$

   $=\frac{1}{2}[\ X(\omega+\omega_0)+X(\omega-\omega_0)\ ]$

同理可得： $x(t)\cdot \sin \omega_0t=\frac{1}{2}j[\ X(\omega+\omega_0)-X(\omega-\omega_0)\ ]$

4.2卷积定理

卷积定义： $x(t)\bigstar h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$

其意义为，一个函数 ${\color{Red} h(t)}$ 关于纵轴翻转（180°）并滑过另一个函数 ${\color{Red} x(t)}$ ，在滑动的过程中的每一个时刻 ${\color{Red}t }$ 处执行计算（曲线 ${\color{Red} x(\tau)h(t-\tau)}$ 下的面积）。式中，负号表示“翻转”，是一个函数滑过另一个函数的位移， $\tau$ 是积分假变量。

很多情况下，卷积积分在时域中的积分方法计算较为困难，则可利用傅里叶变换将其转换到频域中去求解，再将结果经过傅里叶反变换复原即可。卷积定理如下：

$F[x(t)\bigstar h(t)]=X(f)\cdot H(f)\ \ \ \rightarrow \ \ {\color{Blue} x(t)\bigstar h(t)\Leftrightarrow X(f) \cdot H(f)}$

$F[X(f)\bigstar H(f)]=x(t)\cdot h(t)\ \ \ \rightarrow \ \ {\color{Blue} x(t)\cdot h(t)\Leftrightarrow X(f) \bigstar H(f)}$

【推导】：

   $F[x(t)\bigstar h(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau\ ]e^{-j2\pi ft}dt$

   $=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)[{\color{Blue} \int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)e^{-j2\pi ft}dt}\ ]d\tau$

方括号中的蓝色部分为 $y(t-\tau)$ 的傅里叶变换，而根据时移性： $F[\ h(t-\tau)\ ]=H(f)e^{-j2\pi f\tau}$

   上式： $=H(f){\color{Blue} \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau}$

   $=X(f)\cdot H(f)$

5单位脉冲信号

如图5.1所示，其定义为： $\delta (t)=\left\{\begin{matrix} {\color{Red} \infty},\ \ \ \ t=0\\ \\ 0,\ \ \ \ \ t\neq 0 \end{matrix}\right.$ ，且 $\int_{-\infty}^{\infty}\delta (t)dt={\color{Red} 1}$

图5.1 单位脉冲信号

$\delta (t)$ 是具有现实意义的，如，两个物体相碰撞，其碰撞时间很短，冲量有限，设冲击力为。其具有以下性质：

在碰撞的瞬间很大；
除了碰撞的瞬间，；
冲量 $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt=c$ 。

由此可见， $\delta (t)$ 是冲击力以及其他具有相同性质的物理现象的抽象。

特性

表5 单位脉冲信号的特性
特性	公式	描述
抽样特性	$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta (t)dt=x(0)$	任一信号与 $\delta(t)$ 相乘的广义积分，等于此信号再零点处的函数值
抽样特性	$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta (t\pm t_0)dt=x({\color{Red} \mp} t_0)$	借助 $\delta(t)$ 可将任一信号在任一点处的函数值抽样出来
卷积特性	$x(t) \bigstar \delta (t)=x(t)$	任一信号与 $\delta(t)$ 的卷积为其本身
卷积特性	$x(t) \bigstar \delta (t\pm t_0)=x(t\pm t_0)$	一个信号与位于时间轴上的任一点的单位脉冲信号卷积后，该信号将原样地平移到脉冲所在的时间轴上

均匀频谱	$F(\delta (t))=\int_{-\infty}^{\infty}\delta (t)e^{-j2\pi ft}dt=e^{-2pi f {\color{Red} 0}}=1$	根据“抽样特性”可知，其频谱为1

	$F[\ \delta (t- t_0)\ ]=\int_{-\infty}^{\infty}\delta (t- t_0)e^{-j2\pi ft}dt=e^{-2pi f {\color{Red} t_0}}\\ =\cos(2\pi f t_0)-j\sin(2\pi ft_0)$
推论	$1\Leftrightarrow \delta (t)$	根据傅里叶变换的对称性可知，频域的单位脉冲函数对应时域的函数为1
推论	$F[\ \delta(t\pm t_0)\ ]=1 \cdot e^{\pm j2\pi ft_0}$ $F[\ e^{\pm j2\pi f_0 t}\ ]=\delta(f{\color{Red} \mp} f_0)$	根据时移性和频移性，可分别得到左边两个式子

6周期函数的傅里叶变换

周期信号不能直接进行傅里叶变换，但是在引入脉冲信号 $\delta(t)$ 并认为其具有意义的情况下，周期信号则可进行傅里叶变换。其计算过程如下：

（1）根据傅里叶级数式(1-3)，计算周期信号的傅里叶展开：

$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn2\pi f_0 t},\ \ \ \ n=\pm1,\pm2,\cdots$ （就是计算）

（2）对其展开式进行傅里叶变换：

$F[\ x(t)\ ]=X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}{\color{Blue} x(t)}e^{-j2\pi ft}dt=\int_{-\infty}^{\infty}{\color{Blue} [\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn2\pi f_0 t} \ ] }e^{-j2\pi ft}dt$

$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n{\color{Blue} \int_{-\infty}^{\infty} [\ e^{jn2\pi f_0 t} \ ] e^{-j2\pi ft}dt}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\ {\color{Blue} F[e^{jn2\pi f_0 t}]}$

$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\ {\color{Blue} \delta(f-nf_0)}$ （均匀频谱的推论）

【例】：正余弦信号的傅里叶变换：

$F[\ \cos(2\pi f_0 t)\ ]=F[\ \frac{1}{2}(e^{-j2\pi f_0 t}+e^{j2\pi f_0t})\ ]$ （欧拉公式）

$=\frac{1}{2}[\ F[e^{-j2\pi f_0 t}]+F[e^{j2\pi f_0 t}]\ ]=\frac{1}{2}[\ \delta(f+f_0)+\delta(f-f_0)\ ]$ （均匀频谱的推论）

同理可得正弦函数： $F[\ \sin(2\pi f_0 t)\ ]=\frac{1}{2}j[\ \delta(f+f_0)-\delta(f-f_0)\ ]$

图6.1 正余弦函数的傅里叶变换频谱图

7周期单位脉冲信号

如图7.1所示，其定义为： $p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta (t-nT_s) \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\cdots$ ，式中为周期（ ${\color{Red} f_s=\frac{1}{T_s}}$ 即为基频）。

图7.1 周期单位脉冲信号

根据傅里叶级数式(1-3)，其为： $C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j2\pi f_0 t}dt$

$=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}p(t)e^{-j2 \pi f_0t}dt=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}{\color{Red} \delta(t)}e^{-j2 \pi f_0t}dt$ （在 $-\frac{T_s}{2}\sim \frac{T_s}{2}$ 内只有一个 $\delta (t)$ ）

$=\frac{1}{T_s}\cdot 1=f_s$ （均匀频谱）

根据傅里叶级数式(1-3)： $p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\color{Red} C_n}e^{jn2\pi {\color{Red} f_0} t}={\color{Red} \frac{1}{T_s}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn2\pi {\color{Red} f_s} t}$ （信号的傅里叶级数展开）

再对其求傅里叶变换： $F[\ p(t)\ ]=P(f)=\int_{-\infty}^{\infty}p(t)e^{-j2\pi f t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}[\ \frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn2\pi f_s t\ }]e^{-j2\pi f t}dt$

$=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\color{Blue} \int_{-\infty}^{\infty}[\ e^{jn2\pi f_s t}\ ]e^{-j2\pi f t}dt}=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\color{Blue} F[\ e^{jn2\pi f_s t}\ ]}$ （均匀频谱的推论）

$=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\color{Blue} \delta(f-nf_s)}=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-n\frac{1}{T_s})$

如图7.2 所示，仍是一个周期脉冲

图7.2 周期单位脉冲信号的频谱图

8采样与复原

8.1采样

如图8.1.1所示，在计算机处理之前，输入的连续信号必须先通过采样和量化转换为离散的值序列，再经过编码，形成计算机所能处理的数字信号。

采样：将输入的随时间变化的模拟量离散化，形成时间域上断续的模拟量。

量化：将时间域上断续的模拟量进行离散化，使其在幅度上也离散。

编码：将量化后的信号幅值变为对应的二进制码。

图8.1.1 采样、量化和编码

此处，主要关注采样，如图8.1.2所示，对于一个连续函数，其自变量从 $-\infty$ 扩展到 $\infty$ ，若我们希望以均匀间隔 ${\color{Red} T_s}$ 来进行采样，其模拟采样的一种方法是，用一个周期为单位脉冲作为采样函数来乘以来进行采样，采样后的函数表示为 $\tilde{x}(t)$ ，即：

$\tilde{x}(t)=x(t)\cdot p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT_s)\ ,\ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\cdots$

可以看出，式中每个成分都是由该脉冲位置处的值加权后的脉冲，故每个采样值由加权后的脉冲“强度”给出，也就是说，任意采样值为：

${\color{Blue} x_k}=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-kT_s)dt={\color{Blue} x(kT_s)}\ ,\ \ \ \ \ \ k=0,\pm1,\pm2,\cdots$ （抽样特性）

采样后函数 $\tilde{x}(t)$ 的傅里叶变换：

$\tilde{X}(f)=F[\ \tilde{x}(t)\ ]=F[\ x(t)p(t)\ ]=X(f)\bigstar P(f)$ （卷积定理）

$=\int_{-\infty}^{\infty}X(\tau){\color{Blue} P(f-\tau)}d\tau=\frac{1}{T_s}\int_{-\infty}^{\infty}X(\tau)\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\color{Blue} \delta[(f-\tau)-\frac{n}{T_s}]}d\tau$

$=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X(\tau){\color{Blue} \delta [ - (\tau-(f-\frac{n}{T_s}))]}d\tau=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X(\tau){\color{Blue} \delta[\tau-(f-\frac{n}{T_s})]}d\tau$ （ $\delta (t)$ 关于轴对称）

$=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f-\frac{n}{T_s})$ （抽样特性）

图8.1.2 采样

如下图所示，假设某一连续信号采样后的函数 $\tilde{x}(t)$ 的傅里叶变换 $\tilde{X}(f)$ 是的一个副本的无限的、周期的序列。副本的间隔由 $\frac{1}{T_s}$ 决定， $\frac{1}{T_s}$ 越大，即越小，副本的间距越大。

图8.1.3 (a)一带限函数的傅里叶变换 (b)~(d)过采样、临界采样、欠采样条件下采样后的函数的傅里叶变换

带限函数：对于以原点为中心的有限区间（带宽） $[-f_{max},\ f_{max}]$ 之外的频率值，其傅里叶变换为 0 的函数 ${\color{Red} x(t)}$ ，也意味着必须从 $-\infty$ 扩展到 $\infty$ ，（从 $-\infty$ 扩展到 $\infty$ 的函数不一定是带限函数）。

8.2采样定理

如果能从 $\tilde{X}(f)$ 中包含的这个函数的副本周期序列中分离出的一个副本，就可以从采样后的函数中复原，这个复原的前提是副本之间的间距足够大。如上图x所示，(b)为过采样，其副本之间拥有足够的间距，可用来进行副本分离，(c)为临界采样，副本之间紧挨（间距为0）,“恰好” 可以分离出副本（实际中，由于其他原因临界采样依旧会混频），而(d)为欠采样，副本已发生了混频，不可能分离出副本。

故，对于 $\tilde{X}(f)$ ，我们需要其：

$\frac{1}{2T_s}>f_{max}\ \ \Rightarrow {\color{Red} f_s>2f_{max}}$

即，如果以超过原函数的最高频率的2倍的采样频率来进行采样，则可以从采样后的函数中复原原函数，也就是说，采样样函数的采样周期必须足够小，以至于其采样频率足够大，超过 $2f_{max}$ 。

奈奎斯特采样率：完全等于最高频率的2倍的采样率，即临界采样。

8.3混频

如图8.3.1 (d)所示，当欠采样时，副本之间相互“堆叠”，无论使用何种滤波器，都不能可再复原出原始信号，由函数欠采样导致的这种效果，就称为“混频”。实践中，可通过对输入函数进行平滑滤波减少其高频成分来降低混频的影响（如直接采用低通滤波器去掉 $f>\frac{f_s}{2}$ 的频谱部分），然后再进行采样，但频域发生了改变，时域也无法恢复其原始信号。

以下图为例，两个方向无限扩展的正弦信号，其属于带限函数。由于过低的采样率，采样后的函数最然看上去像正弦波，但频率已变为原始信号的 $\frac{1}{10}$ 。

图8.3.1 正弦混频

8.4复原

如下图8.4.1所示，从理论角度阐释了如何从 $\tilde{X}(f)$ 中复原，(a)为一个以略高于奈奎斯特采样率采样后的函数的傅里叶变换，(b)中（理想）低通滤波器由下式定义：

$H (f)=\left\{\begin{matrix} T_s,\ \ \ \-f_{max}<f<f_{max}\\ \\ 0,\ \ \ \ otherwise \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

当使用乘以 $\tilde{X}(f)$ 时，就分离出了以原点为中心的那个副本，即图8.4.1(c)，而得到了之后即可通过傅里叶反变换来复原。公式如下：

$X(f)=H(f)\cdot \tilde{X}(f)$

${\color{Blue} x(t)}=F^{-1}[\ X(f)\ ]=F^{-1}[\ H(f)\tilde{X}(f)\ ]=h(f)\bigstar \tilde{x}(t)$

$=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)\tilde{x}(t-\tau)d\tau={\color{Blue} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)sinc[\frac{(t-nT_s)}{T_s}]}$ （为整数）

上式表明，理想的复原函数是用采样值加权 $\sinc$ 函数的无限和。

对于任何（为整数），中，当时， $sinc[\frac{(kT_s-nT_s)}{T_s}]=sinc(0)=1$ ，而对于其他值（ $n\neq k$ ）， $sinc[\frac{(kT_s-nT_s)}{T_s}]=sinc(k-n)=0$ （ (整数)=0 ），故在样本点处，等于第个样本。

而对于其他值（不在样本点处的，如），即样本点之间的值是由函数与函数乘积的无限和形成的内插值。

【注意】：上式中样本间的内插值有无限多项，而实际中无法实现，即会选择一种有限个的近似方法（插值越密，越接近无限个，复原的函数也越趋于连续函数），如图像处理中主要使用最邻近法、双线性法、双三次内插法。

图8.4.1 带限函数的复原

该（理想）低通滤波器是从采样后的函数来复原（重建）原始函数的重要手段，用于此目的的滤波器也称为 “重建滤波器”。

【注意】：理论上，该复原方法中的必须为带限函数，即的范围为 $(-\infty,\ \infty)$ ，实际中这个条件无法满足。

8.5泄漏

实践中，我们不可能处理一个无限长的信号，必须限制信号的持续时间，假设把带限函数的只需时间控制在 $[-\frac{\tau}{2},\ \frac{\tau}{2}]$ 内，则可以让其乘以矩形窗函数来实现：

$g(t)=\left\{\begin{matrix} 1,\ \ \ \ -\frac{\tau}{2}<t<\frac{\tau}{2}\\ \\ 0,\ \ \ \ \ otherwise \ \end{matrix}\right.$

如下图所示，余弦信号的时域分布为无限长（带限函数），当用矩形窗函数与其相乘后，得到截断信号 $x(t)\cdot g(t)$ ，其频谱是两信号的卷积。对比截断信号的频谱 $X(\omega)\bigstar G(\omega)$ 与原始信号的频谱 $X(\omega)$ 可知，其频谱已发生了“畸变”，原来集中在 ${\color{Red} \omega_0}$ 处的能量被分散到已 ${\color{Red} \omega_0}$ 为中心的较宽的频带中去了，这种现像就称之为 “泄漏”。

图8.5.1 截断

用有限的长度来进行采样，泄漏将不可避免，其带来的频谱误差与使用的“窗函数”的宽度和形状有关，为降低泄漏误差，需要窗函数的频谱：

主瓣尽可能的窄（窗函数时域越宽），包围面积尽可能大，意味着能量尽量集中，接近脉冲函数 $\delta (t)$ 。
最大旁瓣相对主瓣尽可能小，且包围面积尽可能小，意味着泄漏量尽量小。

一般可采取如下措施：

增大窗的宽度
采用不同的窗函数，如汉宁窗、哈明窗、三角窗、指数窗、高斯窗等。

【注意】：两者不可兼得，需根据实际需要进行调整。

9离散傅里叶变换（DFT）

在对连续信号进行傅里叶（正 / 逆）变换时，无论在时域还是频域都需要在无限区间 $(-\infty,\ \infty)$ 进行积分运算，而对于计算机而言，要实现该运算，必须先将连续的模拟信号变为离散信号，同时将计算范围收缩至有限区间。

其完整的实现过程如下图所示：

（1）采样（模拟信号离散化）

如下图所示，首先对一般连续信号（实际中所处理的一般信号几乎不会是带限函数）进行离散化，得到采样信号，如图(c)所示，由于的带宽不是有限的，故的混频不可避免，只能尽量降低。其中，时域的采样周期为（采样率 $f_s=\frac{1}{T_s}$ ）。

图9.1 模拟信号离散化

（2）截断（将运算收缩至有限区间）

此时，连续的信号已经变为了离散的信号，但仍具有无限多个点，因此还需要对其时域进行截断。其截断长度为 $\tau$ ，取出有限的个数据点，截断后的频谱由于泄漏而出现了“畸形褶皱”。

图9.2 截断

（3）频域采样

此时，时域信号已离散为有限区间，但频域仍为连续的无限区间，故先对频谱进行离散化，即乘以频域周期脉冲信号，根据卷积定义，其对应时域做卷积运算。

图9.3 频域采样

频率采样间隔（谱线间隔） $\Delta f$ 是频率分辨力的指标，其与被采样信号的时间记录长度 $\tau$ 的关系是： $\Delta f=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{NT_s}=\frac{f_s}{N}$ 。

【注意】： 选定后，要提高频率分辨力 $\Delta f$ ，就只能增加数据点数，但这样也会导致计算量增加，解决该问题一般可通过（1）处理过程中只提高感兴趣的局部频段上的频率分辨力（2）换用其他将时域变为频域的方法。

（4）频域截断

此时，时域和频域信号虽然都是离散信号，但都周期化了（变为了区间无限长的离散傅里叶变化对），故需再对其进行截断，即分别取一个周期上的个时域采样值和个频域采样值（如图9.4 所示），最终得到与原连续信号及其傅里叶变换相对应的有限离散傅里叶变换对，分别称为离散傅里叶变换（DFT）和离散傅里叶逆变换（IDFT），定义如下：

$\left\{\begin{matrix} X(k)=DFT[\ x(n)\ ]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{(\frac{-j2\pi nk}{N})},\ \ \ \ \ \ \ \ k=0,1,2,\cdots,N-1\ \\ \\ x(n)=DFT[\ X(k)\ ]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}X(k)e^{(\frac{j2\pi nk}{N})},\ \ \ \ \ n=0,1,2,\cdots,N-1 \ \end{matrix}\right.$

图9.4 频域截断

卷积的离散表示为：

$x(k)\bigstar y(k)=\sum_{m=0}^{M-1}x(m)y(k-m)$

【注】：时域采样会使得频域周期化，频域采样也会使得时域周期化

【注意】：总的来说，由于采样和截断处理，一般信号经过离散傅里叶变换后得到的频谱只能是 “估计值”，其不仅存在着 “混叠”、“泄漏”、“栅栏”等效应引起的误差，而且对于随机信号，它还存在用 “样本” 估计 “总体” 所必然存在的统计误差。

参数确定

离散傅里叶变换的基本参数有：

—— 采样时间间隔

—— 信号（或感兴趣）的最高频率

$\Delta f$ —— 频率分辨力

$\tau$ —— 截断的长度（信号记录长度）

—— 时域和频域的采样点数

实现DFT必须满足如下基本关系： $f_s=\frac{1}{T_s}\geq 2f_m$ , $\Delta f=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{NT_s}=\frac{f_s}{N}$

【例】：已知某信号的最高频率，要求频率分辨力不大于，求采样时间间隔，信号记录长度 $\tau$ 和采样点数。

采样频率： $f_s\geq 2f_m=2\times 5 \times 10^3=10\ (kHz)$

采样间隔： $T_s=\frac{1}{f_s}\leq \frac{1}{10 \times 10^3}=100\ (\mu s)$

记录长度： $\tau\geq NT_s=1024\times 100 \times 10^{-6}=0.1024\ (s)$

采样点数： $N=\frac{2f_m}{\Delta f}=\frac{2\times 5 \times 10^3}{10}=1000$ (个)

【注意】：由于计算机是以二进制储存数据，故一般是 2 的整数次方，取 $N=2^{10}=1024$ (个)

【注】：离散傅里叶变换（DFT）虽然解决了在计算机上实现傅里叶变换的问题，但由于巨大的计算量，仍不具备实用性，故在此基础上诞生了快速傅里叶变换（FFT）。

10二维傅里叶变换

根据一维的离散傅里叶变换，可进一步引申出二维的傅里叶变换，令表示一幅大小为 $M \times N$ 的图像，其中 $x=0,1,2,\cdots ,M-1\ \ \ \ y=0,1,2,\cdots ,N-1$ ，表示其傅里叶变换（DFT），称为频率矩形，其中 $u=0,1,2,\cdots ,M-1\ \ \ \ v=0,1,2,\cdots ,N-1$ ，公式如下：

$F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (\frac{x}{M}u+\frac{y}{N}v)}$ (10-1)

给出也可使用傅里叶反变换（IDFT）得到：

$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (\frac{u}{M}x+\frac{v}{N}y)}$ (10-2)

两式构成了二维离散傅里叶变换对，明显可知，频率矩形与输入图像的大小相同（皆为 $M \times N$ ）。

【注】：默认空间域和频率域的原点都在左上角，且纵轴为或，横轴为或。

【例】：如图10.1 所示，求该块函数的傅里叶变换

$f(t,z)=\left\{\begin{matrix} A,\ \ \ \ \left | t \right |<\frac{T}{2},\ \left | z \right |<\frac{Z}{2}\\ \\ 0,\ \ \ \ \ otherwise \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

图10.1 原函数

$F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)e^{-j2\pi(ut+vz)}dtdz=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{Z}{2}}^{\frac{Z}{2}}Ae^{-j2\pi(ut+vz)}dtdz$

$=ATZ[\ \frac{\sin(\pi u T)}{\pi u T}\ ][\ \frac{\sin(\pi v T)}{\pi v T}\ ]=ATZ[\ sinc(\pi uT)\ ][\ sinc(\pi vT)\ ]$

则其频谱（如图10.2所示）为： $\left | F(u,v) \right |=ATZ \left | sinc(\pi uT) \right |\left |\ sinc(\pi vT)\ \right |$

图10.2 频谱图（部分图像，且为突出细节未按比例画出）

10.1性质

表10.1 二维傅里叶变换常用性质
性质	公式	解释
平移性（时移/频移）	$f(x,y)e^{{\color{Red} \mp} j2\pi (\frac{u_0}{M}x+\frac{v_0}{N}y)}\Leftrightarrow F(u\pm u_0,v\pm v_0)$	乘以正指数项，将使的原点移动到，即【注】：同一维傅里叶变换的时移性的定义，平移不改变幅值频谱，仅使相位谱旋转
平移性（时移/频移）	$f(x\pm x_0,y\pm y_0)\Leftrightarrow F(u,v)e^{\pm j2\pi (\frac{x_0}{M}u+\frac{y_0}{N}v)}$	乘以负指数项，将使的原点移动到
旋转性	定义： $x=r\cos \theta,\ y=r\sin \theta ,\ u=\omega \cos \theta, \ v=\omega \sin \theta$ 则： $f(r,\theta +\theta_0)\Leftrightarrow F(\omega ,\omega + \omega_0)$	若旋转 $\theta_0$ 角度，则也旋转相同的角度，反之亦然
对称性	对于离散奇函数：和离散偶函数：有： $\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}w_e(x,y)w_o(x,y)=0$
推论	对于实函数，有 $\bar{F}(u,v)=F(-u,-v)$ 对于虚函数，有 $\bar{F}(-u,-v)=-F(u,v)$	实函数的傅里叶变换是共轭对称的，而虚函数的傅里叶变换是共轭反对称的【注】：共轭对称也称为 ”哈密特对称“，共轭反对称也称为 ”反哈密特对称“
周期性		二维 DFT 和 IDFT 在和方向上是无限周期的，其中和是整数
一维	$f(x)e^{ j2\pi (\frac{u_0}{M}x)}\Leftrightarrow X(u-u_0)$ 令 $u_0=\frac{M}{2}$ ，则指数项变为： $e^{j2\pi (\frac{x }{M}\cdot \frac{M}{2})}=e^{j\pi x}$ 因为是整数，所以 $e^{j\pi x}=(e^{j\pi})^x=[cos(\pi)+j\sin (\pi)]^x=(-1)^x$ 故： $f(x)(-1)^x \Leftrightarrow F(u-\frac{M}{2})$	此处以一维举例，DFT后，函数区间 ${\color{Red} [0,M-1]}$ 内包含两个挨着的半个周期，而对于后期的处理来说，区间内包含一个完整的周期会更加方便，故在DFT之前，采用乘以，会将频谱右移 $\frac{M}{2}$ ，即原函数处的数据移动到了函数区间的中点处（ $F(0)={F}'(\frac{M}{2}-1)$ ），如下图x 所示，函数区间将包含一个完整的周期
一维
二维	令 $u_0=\frac{M}{2}$ ， $v_0=\frac{N}{2}$ 则： $f(x,y)(-1)^{x+y} \Leftrightarrow F(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2})$	同理可将该性质扩展到二维，即用 $(-1)^{x+y}$ 乘以，会将频谱沿着和轴分别移动 $\frac{M}{2}$ 和 $\frac{N}{2}$ ，在形式上也等同于将函数区间（橘色框）向右下角移动，如下图x 所示
二维

【注意】：平移再变换不等于变换再平移，即 $DFT[\ f(x,y)(-1)^{x+y}\ ]\neq DFT[\ f(x,y)\ ](-1)^{x+y}$ 。原理上是先平移再变换，而python的程序实现是先变换再平移。

10.2频谱与相角

二维DFT运算后通常是复数，故可使用极坐标形式来表示：

$F(u,v)=\left | F(u,v) \right |e^{j\varphi (u,v)}=Re(u,v)+jIm(u,v)$

幅值频谱（频谱）： $\left | F(u,v) \right |=\sqrt{[Re^2(u,v)+Im^2(u,v)]}$

相位频谱（相角）： $\varphi (u,v)=arctan [\frac{Im(u,v)}{Re(u,v)}]$ （如2.2节所述，需要使用四象限反正切来计算）

【注】：在此阶段，、、 $\left | F(u,v) \right |$ 、 $\varphi (u,v)$ 皆为 $M\times N$ 的矩形。（图像卷积需要变换尺寸）

根据对称性的推论，实函数的DFT是共轭对称的，表明：

频谱是关于原点对称的： $\left | F(u,v) \right |=\left | F(-u,-v) \right |$

相角关于原点奇对称： $\varphi (u,v)=-\varphi (-u,-v)$

由式(10-1)可以得出： $F(0,0)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (\frac{x}{M}0+\frac{y}{N}0)}=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)$

$=MN\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)=MN\bar{f}(x,y)$

故： $\left | F(0,0) \right |=MN\left |\bar{f}(x,y) \right |$ (10-2)

因为 $M\times N$ （图像尺寸）通常很大，所以 $\left | F(u,v) \right |$ 是频谱的最大成分（远大于其他），常称为“直流分量”。在显示图像时，由于低频处（尤其）相比高频处拥有过高的值，故高频处灰度的动态范围被压缩了，为了显示时保留细节，故可对其进行图10.2.1所示的灰度变换（此处选择对数变换），将小值放大，大值缩小。

图10.2.1 灰度变换

同时，结合图10.2.1 由周期性可知，4个角皆处于频谱波峰的重叠处，即具有相同的最大值：。同时，4个角区域所包含得也是相同较大值（低频部分），故中心化后，4个角区域的能量会集中到频谱的中心位置。

【证明】：

由式(10-1)： $F(M-1,0)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y){\color{Blue} e^{-j2\pi [\frac{x}{M}(M-1)+\frac{y}{N}0]}}=\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y){\color{Blue} e^{-j2\pi x}}$ （因为一般很大，故此处 $\frac{M-1}{M}$ 近似取1）

$\because \ e^{-j2\pi x}=\cos(2\pi x)-\sin(2\pi x)=1$

$\therefore \ F(M-1,0)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\cdot 1=F(0,0)$

同理可证：

即： $\left |F(0,0) \right |=\left |F(M-1,0) \right |=\left |F(0,N-1) \right |=\left |F(M-1,N-1) \right |=MN\left |\bar{f}(x,y) \right |$

频谱

在一幅图像DFT的频谱图中，较大的幅值意味着图像中该频率的正/余弦波比较突出（占据着信号的主要能量）。如图10.2.2所示，图(a) 为一幅空间域的8位灰度图像；图(b)为图(a)的频谱图，由于周期性，其原点及其他3个角包含了相同的最大值（图像中表现为高亮）；图(c)为中心化后的频谱，能量被集中到了中心位置，频谱图像更易观察；图(d)为对频谱图（中心化之前）对数增强后的图像，采用的算法为： $1+\log \left | F(u,v) \right |$ 。

图10.2.2 (a)原始图像；(b)频谱图；(c)中心化后的频谱图；(d)增强后的频谱图

import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt

fimg = cv2.imread('rectangle.tif', 0)    # 得到输入图像

Fimg = np.fft.fft2(fimg)                 # 计算DFT（一般为复数）
AFimg = np.abs(Fimg)                     # 得到频谱图
AFshift = np.abs(np.fft.fftshift(Fimg))  # 中心化后的频谱图
Simg = 1 + np.log(np.abs(AFshift))         # 图像增强
'''
ReFimg = np.real(Fimg)                   # 得到频谱的实部
ImFimg = np.imag(Fimg)                   # 得到频谱的虚部
phi = np.arctan2(ImFimg, ReFimg)         # 计算反正切得到相角
'''
phi = np.angle(Fimg)                     # 内置相角计算

【注】：图像那里的幅度变化非常大呢？边界点或者噪声。所以我们说边界和噪声是图像中的高频分量（注意这里的高频是指变化非常快，而非出现的次数多）。如果没有如此大的幅度变化我们称之为低频分量。

【注】：实际中，计算机使用的是快速傅里叶变换（FFT）。

相角

（1）平移图像的DFT

相角是各个正/余弦成分关于原点位移的度量。如图10.2.3所示，时域图像的平移对频谱没有影响，但会使相角旋转。图(a)为图x(a)的相角；图(b)为图x(a)中平移后的图像；图(c)平移后图像的频谱；图(d)平移后图像的相角。

图10.2.3 平移图像的DFT (a)；(b)；(c)；(d)

import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt

fimg1 = cv2.imread('rectangle.tif', 0)       # 原图像
fimg = cv2.imread('translation.tif', 0)      # 平移后的图像

Fimg1 = np.fft.fft2(fimg1)                   # 计算原图像的DFT
phi1 = np.angle(Fimg1)                       # 计算相角图

Fimg = np.fft.fft2(fimg)                     # 计算平移后图像的DFT
AFshift = np.abs(np.fft.fftshift(Fimg))      # 中心化后的频谱图
Simg = 1 + np.log(np.abs(AFshift))             # 对数增强
phi = np.angle(Fimg)                         # 得到相角图

（2）旋转图像的DFT

时域图像的旋转（如图10.2.4 所示旋转45°）会使频谱旋转相同的角度，相角也会旋转但小于45°。图(a)为图x(a)中旋转45°后的图像；图(b)旋转后图像的频谱；图(c)旋转后图像的相角。

图10.2.4 旋转图像的DFT

【注】：频谱的成分决定了图像中的灰度，相角则携带较多关于图像中可辩别物体的定位信息。

10.3二维离散卷积定理

卷积公式： $f(x,y)\bigstar h(x,y)=\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)$

卷积定理： $f(x,y)\bigstar h(x,y)\Leftrightarrow F(u,v)\cdot H(u,v)$

$f(x,y)\cdot h(x,y)\Leftrightarrow F(u,v)\bigstar H(u,v)$

10.4 DFT的卷积混叠

在DFT计算中，由于存在周期性，而且两个周期函数的卷积也是周期的，相邻周期的副本将会导致计算相互干扰，导致“混叠错误”。以下图两个函数为例，其一维离散卷积运算表达式为：

$f(x)\bigstar h(x)=\sum_{m=0}^{399}f(m)h(x-m)$

【注】：卷积是位移变量的函数，因为和的区间都是400，而卷积运算要求整个完全滑过，故卷积后函数的区间为。

对于该问题，考虑分别有长度为的和的，可将 0 填充到两个函数中，扩充其周期，使两者长度皆为，将避免卷积的“混叠”问题，此处有如下定义：

$P\geq A+B-1$

而对于大小分别为 $A\times B$ 和 $C\times D$ 的图像阵列和，令其填充后的大小皆为 $P\times Q$ ，此处和有如下定义：

$P\geq A+C-1$

$Q\geq B+D-1$

可知，对于两个大小相同，皆为 $M\times N$ 的图像，其填充定义为： $P\geq 2M-1$ ， $Q\geq 2N-1$ 。

【注】：DFT算法对偶数尺寸的阵列计算较快，故一般将和设置为满足上述方程的最小偶整数。

【注意】：0填充时，若原函数在尾端的不是0，那么填充后将创建一个不连续的函数，这类似于用矩形窗函数对原函数进行了截断，将导致 “频谱泄漏”，泄漏会在图像上产生块效应。虽然泄漏无法避免，但可通过采用其他窗函数乘以原函数来尽量减少，使函数在尾端平滑地过渡到0，其窗函数可使用二维高斯函数，该函数的优点是傅里叶变换也是高斯的，将会产生较低的泄漏。

结语

写博客的初衷就是记录，留下日常学习中的点点滴滴，并逐渐扩充为自己的知识体系，方便随时查阅，避免遗忘，同时也能够帮助他人，赠人玫瑰，手有余香。也希望能有更多的朋友加入进来，博客不同于论文，不需要多大的创新点，也没有严苛的审查制度，不过并不意味着不需要质量，对知识点的总结、解决某一实际问题的方法、哪怕是一个小小的感悟，写的过程，能加深对知识的理解，回顾起来，也会是一种收获。

持续更新...

参考文章

《测试技术与信号处理》

《数字图像处理》（第三版）

神奇“数学动态图”

欧拉公式之美

“上帝公式”真的神到无法触碰？

世界上有完美的东西，那就是美到让人窒息的傅里叶变换（一）

傅里叶分析之掐死教程（完整版）

作者：韩昊

知乎：Heinrich

微博：@花生油工人

知乎专栏：与时间无关的故事

谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。

复数的物理意义是什么？

傅里叶为何变换？

OpenCV官方教程

你可能感兴趣的:(傅里叶分析概述)

QQ群采集助手，精准引流必备神器 2401_87347160 其他经验分享
功能概述微信群查找与筛选工具是一款专为微信用户设计的辅助工具，它通过关键词搜索功能，帮助用户快速找到相关的微信群，并提供筛选是否需要验证的群组的功能。主要功能关键词搜索：用户可以输入关键词，工具将自动查找包含该关键词的微信群。筛选功能：工具提供筛选机制，用户可以选择是否只显示需要验证或不需要验证的群组。精准引流：通过上述功能，用户可以更精准地找到目标群组，进行有效的引流操作。3.设备需求该工具可以
机器学习与深度学习间关系与区别 ℒℴѵℯ心·动ꦿ໊ོ꫞ 人工智能学习深度学习 python
一、机器学习概述定义机器学习（MachineLearning,ML）是一种通过数据驱动的方法，利用统计学和计算算法来训练模型，使计算机能够从数据中学习并自动进行预测或决策。机器学习通过分析大量数据样本，识别其中的模式和规律，从而对新的数据进行判断。其核心在于通过训练过程，让模型不断优化和提升其预测准确性。主要类型1.监督学习（SupervisedLearning）监督学习是指在训练数据集中包含输入
地推话术，如何应对地推过程中家长的拒绝校师学
相信校长们在做地推的时候经常遇到这种情况：市场专员反馈家长不接单，咨询师反馈难以邀约这些家长上门，校区地推疲软，招生难。为什么？仅从地推层面分析，一方面因为家长受到的信息轰炸越来越多，对信息越来越“免疫”；而另一方面地推人员的专业能力和营销话术没有提高，无法应对家长的拒绝，对有意向的家长也不知如何跟进，眼睁睁看着家长走远；对于家长的疑问，更不知道如何有技巧地回答，机会白白流失。由于回答没技巧和专业
扫地机类清洁产品之直流无刷电机控制悟空胆好小清洁服务机器人单片机人工智能
扫地机类清洁产品之直流无刷电机控制1.1前言扫地机产品有很多的电机控制，滚刷电机1个，边刷电机1-2个，清水泵电机，风机一个，部分中高端产品支持抹布功能，也就是存在抹布盘电机，还有追觅科沃斯石头等边刷抬升电机，滚刷抬升电机等的，这些电机有直流有刷电机，直接无刷电机，步进电机，电磁阀，挪动泵等不同类型。电机的原理，驱动控制方式也不行。接下来一段时间的几个文章会作个专题分析分享。直流有刷电机会自动持续
店群合一模式下的社区团购新发展——结合链动 2+1 模式、AI 智能名片与 S2B2C 商城小程序源码说私域人工智能小程序
摘要：本文探讨了店群合一的社区团购平台在当今商业环境中的重要性和优势。通过分析店群合一模式如何将互联网社群与线下终端紧密结合，阐述了链动2+1模式、AI智能名片和S2B2C商城小程序源码在这一模式中的应用价值。这些创新元素的结合为社区团购带来了新的机遇，提升了用户信任感、拓展了营销渠道，并实现了线上线下的完美融合。一、引言随着互联网技术的不断发展，社区团购作为一种新兴的商业模式，在满足消费者日常需
抖音乐买买怎么加入赚钱?赚钱方法是什么测评君高省
你会在抖音买东西吗?如果会，那么一定要免费注册一个乐买买，抖音直播间，橱窗，小视频里的小黄车买东西都可以返佣金!省下来都是自己的，分享还可以赚钱乐买买是好省旗下的抖音返佣平台，乐买买分析社交电商的价值，乐买买属于今年难得的副业项目风口机会，2019年错过做好省的搞钱的黄金时期，那么2022年千万别再错过乐买买至于我为何转到高省呢？当然是高省APP佣金更高，模式更好，终端用户不流失。【高省】是一个自
Python数据分析与可视化实战指南 William数据分析 python python 数据
在数据驱动的时代，Python因其简洁的语法、强大的库生态系统以及活跃的社区，成为了数据分析与可视化的首选语言。本文将通过一个详细的案例，带领大家学习如何使用Python进行数据分析，并通过可视化来直观呈现分析结果。一、环境准备1.1安装必要库在开始数据分析和可视化之前，我们需要安装一些常用的库。主要包括pandas、numpy、matplotlib和seaborn等。这些库分别用于数据处理、数学
Pyecharts数据可视化大屏：打造沉浸式数据分析体验我的运维人生信息可视化数据分析数据挖掘运维开发技术共享
Pyecharts数据可视化大屏：打造沉浸式数据分析体验在当今这个数据驱动的时代，如何将海量数据以直观、生动的方式展现出来，成为了数据分析师和企业决策者关注的焦点。Pyecharts，作为一款基于Python的开源数据可视化库，凭借其丰富的图表类型、灵活的配置选项以及高度的定制化能力，成为了构建数据可视化大屏的理想选择。本文将深入探讨如何利用Pyecharts打造数据可视化大屏，并通过实际代码案例
PHP环境搭建详细教程好看资源平台前端 php
PHP是一个流行的服务器端脚本语言，广泛用于Web开发。为了使PHP能够在本地或服务器上运行，我们需要搭建一个合适的PHP环境。本教程将结合最新资料，介绍在不同操作系统上搭建PHP开发环境的多种方法，包括Windows、macOS和Linux系统的安装步骤，以及本地和Docker环境的配置。1.PHP环境搭建概述PHP环境的搭建主要分为以下几类：集成开发环境：例如XAMPP、WAMP、MAMP，这
18-115 一切思考不能有效转化为行动，都TM是扯淡！成长时间线
7月25号写了一篇关于为什么会断更如此严重的反思，然而，之后日更仅仅维持了一周，又出现了这次更严重的现象。从8月2号到昨天8月6号，5天！又是5天没有更文！虽然这次断更时间和上次一样，那为什么说这次更严重？因为上次之后就分析了问题的原因，以及应该如何解决，按理说应该会好转，然而，没过几天严重断更的现象再次出现，想想，经过反思，问题依然没有解决与改变，这让我有些担忧。到底是哪里出了问题，难道我就真的
高端密码学院笔记285 柚子_b4b4
高端幸福密码学院（高级班）幸福使者：李华第（598）期《幸福》之回归内在深层生命原动力基础篇——揭秘“激励”成长的喜悦心理案例分析主讲：刘莉一，知识扩充:成功=艰苦劳动+正确方法+少说空话。贪图省力的船夫，目标永远下游。智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印。幸福早课堂2020.10.16星期五一笔记:1，重视和珍惜的前提是知道它的价值非常重要，当你珍惜了，你就真正定下来，真正的学到身上。2，大家需要
Day1笔记-Python简介&标识符和关键字&输入输出 ~在杰难逃~ Python python 开发语言大数据数据分析数据挖掘
大家好，从今天开始呢，杰哥开展一个新的专栏，当然，数据分析部分也会不定时更新的，这个新的专栏主要是讲解一些Python的基础语法和知识，帮助0基础的小伙伴入门和学习Python，感兴趣的小伙伴可以开始认真学习啦！一、Python简介【了解】1.计算机工作原理编程语言就是用来定义计算机程序的形式语言。我们通过编程语言来编写程序代码，再通过语言处理程序执行向计算机发送指令，让计算机完成对应的工作，编程
pyecharts——绘制柱形图折线图 2224070247 信息可视化 python java 数据可视化
一、pyecharts概述自2013年6月百度EFE(ExcellentFrontEnd）数据可视化团队研发的ECharts1.0发布到GitHub网站以来，ECharts一直备受业界权威的关注并获得广泛好评，成为目前成熟且流行的数据可视化图表工具，被应用到诸多数据可视化的开发领域。Python作为数据分析领域最受欢迎的语言，也加入ECharts的使用行列，并研发出方便Python开发者使用的数据
数据仓库——维度表一致性墨染丶eye 背诵数据仓库
数据仓库基础笔记思维导图已经整理完毕，完整连接为：数据仓库基础知识笔记思维导图维度一致性问题从逻辑层面来看，当一系列星型模型共享一组公共维度时，所涉及的维度称为一致性维度。当维度表存在不一致时，短期的成功难以弥补长期的错误。维度时确保不同过程中信息集成起来实现横向钻取货活动的关键。造成横向钻取失败的原因维度结构的差别，因为维度的差别，分析工作涉及的领域从简单到复杂，但是都是通过复杂的报表来弥补设计
闲鱼鱼小铺怎么开通？鱼小铺开通需要哪些流程？高省APP大九
闲鱼鱼小铺是平台推出的一个专业程度的店铺，与普通店铺相比会有更多的权益，比如说发布的商品数量从50增加到500；拥有专业的店铺数据看板与分析的功能，这对于专门在闲鱼做生意的用户来说是非常有帮助的，那么鱼小铺每个人都能开通吗？大家好，我是高省APP联合创始人蓓蓓导师，高省APP是2021年推出的电商导购平台，0投资，0风险、高省APP佣金更高，模式更好，终端用户不流失。【高省】是一个可省钱佣金高，能
2019-11-04复盘——飞来山上千寻塔，闻说鸡鸣见日升。那一叶秋
1、大盘篇先上老图，看习惯了，也就知道走势了图1上证指数日线图还是那张老图，自己可以在自己的相关软件上画出来，快变盘了。2、个股篇未加仓、未减仓。分析量能的时候，突然发现这么一个东西：“放量突破年线，缩量回调。”合众科技日线图其实，最近的N只个股，在技术分析上，都到了变盘的临界时候。结合这么久的走势，特别是ZJH不断放开IPO的申请，本质上说是融资难度变大，或者说是为企业的融资开创便利。但现在市场
18、架构-可观测性之聚合度量大树~~ 架构 java python 后端架构
聚合度量聚合度量是指对系统运行时产生的各种指标数据进行收集、聚合和分析，以了解系统的健康状况和性能表现。聚合度量是可观测性的关键组成部分，通过对度量数据的分析，可以及时发现系统中的异常和瓶颈。以下是对聚合度量各个方面的详细解析，并结合具体的数据案例和技术支撑。指标收集收集系统运行时产生的各种指标数据是聚合度量的基础。常见的指标包括CPU使用率、内存使用率、请求处理时间、请求数、错误率等。以下是指标
果然只有离职的时候，才有人敢说真话！ return2ok
今天公司出了神贴。今天中午吃饭，同事问我看了论坛上的神贴了吗？什么帖子？我问。同事显得很惊讶，你居然没看，现在那个帖子可能会成为年度最佳帖子。这么厉害？我等不及了，饭没吃完就快速的奔向办公室，打开公司论坛，我要一睹这个帖子的神奇。写这帖子的童鞋胆儿真肥。这哪里是一个帖子，这是很多个帖子，组成了一个系列。某人从公司文化、管理、人事、项目管理等多个方面分析了公司的概况，并抨击了公司的各种弊端，并提出了
nosql数据库技术与应用知识点皆过客，揽星河 NoSQL nosql 数据库大数据数据分析数据结构非关系型数据库
Nosql知识回顾大数据处理流程数据采集(flume、爬虫、传感器)数据存储(本门课程NoSQL所处的阶段)Hdfs、MongoDB、HBase等数据清洗(入仓)Hive等数据处理、分析(Spark、Flink等)数据可视化数据挖掘、机器学习应用(Python、SparkMLlib等)大数据时代存储的挑战(三高)高并发(同一时间很多人访问)高扩展(要求随时根据需求扩展存储)高效率(要求读写速度快)
《Python数据分析实战终极指南》 xjt921122 python 数据分析开发语言
对于分析师来说，大家在学习Python数据分析的路上，多多少少都遇到过很多大坑**，有关于技能和思维的**：Excel已经没办法处理现有的数据量了，应该学Python吗？找了一大堆Python和Pandas的资料来学习，为什么自己动手就懵了？跟着比赛类公开数据分析案例练了很久，为什么当自己面对数据需求还是只会数据处理而没有分析思路？学了对比、细分、聚类分析，也会用PEST、波特五力这类分析法，为啥
SpringBlade dict-biz/list 接口 SQL 注入漏洞文章永久免费只为良心 oracle 数据库
SpringBladedict-biz/list接口SQL注入漏洞POC:构造请求包查看返回包你的网址/api/blade-system/dict-biz/list?updatexml(1,concat(0x7e,md5(1),0x7e),1)=1漏洞概述在SpringBlade框架中，如果dict-biz/list接口的后台处理逻辑没有正确地对用户输入进行过滤或参数化查询（PreparedSta
Python开发常用的三方模块如下：换个网名有点难 python 开发语言
Python是一门功能强大的编程语言，拥有丰富的第三方库，这些库为开发者提供了极大的便利。以下是100个常用的Python库，涵盖了多个领域：1、NumPy，用于科学计算的基础库。2、Pandas，提供数据结构和数据分析工具。3、Matplotlib，一个绘图库。4、Scikit-learn，机器学习库。5、SciPy，用于数学、科学和工程的库。6、TensorFlow，由Google开发的开源机
【六】阿伟开始搭建Kafka学习环境能源恒观中间件学习 kafka spring
阿伟开始搭建Kafka学习环境概述上一篇文章阿伟学习了Kafka的核心概念，并且把市面上流行的消息中间件特性进行了梳理和对比，方便大家在学习过程中进行对比学习，最后梳理了一些Kafka使用中经常遇到的Kafka难题以及解决思路，经过上一篇的学习我相信大家对Kafka有了初步的认识，本篇将继续学习Kafka。一、安装和配置学习一项技术首先要搭建一套服务，而Kafka的运行主要需要部署jdk、zook
ES聚合分析原理与代码实例讲解光剑书架上的书大厂Offer收割机面试题简历程序员读书硅基计算碳基计算认知计算生物计算深度学习神经网络大数据 AIGC AGI LLM Java Python 架构设计 Agent 程序员实现财富自由
ES聚合分析原理与代码实例讲解1.背景介绍1.1问题的由来在大规模数据分析场景中，特别是在使用Elasticsearch（ES）进行数据存储和检索时，聚合分析成为了一个至关重要的功能。聚合分析允许用户对数据集进行细分和分组，以便深入探索数据的结构和模式。这在诸如实时监控、日志分析、业务洞察等领域具有广泛的应用。1.2研究现状目前，ES聚合分析已经成为现代大数据平台的核心组件之一。它支持多种类型的聚
母亲节如何做小红书营销美橙传媒
小红书的一举一动引起了外界的高度关注。通过爆款笔记和流行话题，我们可以看到“干货”类型的内容在小红书中偏向实用的生活经验共享和生活指南非常受欢迎。根据运营社的分析，这种现象是由小红书用户心智和内容社区背后机制共同决定的。首先，小红书将使用“强搜索”逻辑为用户提供特定的“搜索场景”。在“我必须这样生活”中，大量使用了满足小红书站用户喜好和需求的内容。内容社区自制的高质量内容也吸引了寻找营销新途径的品
系统架构设计师需求分析篇二 AmHardy 软件架构设计师系统架构需求分析面向对象分析分析模型 UML和SysML
面向对象分析方法1.用例模型构建用例模型一般需要经历4个阶段：识别参与者：识别与系统交互的所有事物。合并需求获得用例：将需求分配给予其相关的参与者。细化用例描述：详细描述每个用例的功能。调整用例模型：优化用例之间的关系和结构，前三个阶段是必需的。2.用例图的三元素参与者：使用系统的用户或其他外部系统和设备。用例：系统所提供的服务。通信关联：参与者和用例之间的关系，或用例与用例之间的关系。3.识别参
语文主题教学学习笔记之87 东哥杂谈
“语文主题教学”学习笔记之八十七（0125）今天继续学习小学语文主题教学的实践样态。板块三：教学中体现“书艺”味道。作为四大名著之一的《水浒传》，堪称我国文学宝库之经典。对从《水浒传》中摘选的单元，教师就要了解其原生态，即评书体特点。这也要求教师要了解一些常用的评书行话术语，然后在教学时适时地加入一些，让学生体味其文本中原有的特色。学生也要尽可能地通过朗读的方式，而不单是分析讲解的方式进行学习。细
4.C_数据结构_队列荣世蓥数据结构数据结构
概述什么是队列：队列是限定在两端进行插入操作和删除操作的线性表。具有先入先出(FIFO)的特点相关名词：队尾：写入数据的一段队头：读取数据的一段空队：队列中没有数据，队头指针=队尾指针满队：队列中存满了数据，队尾指针+1=队头指针循环队列1、基本内容循环队列是以数组形式构成的队列数据结构。循环队列的结构体如下：typedefintdata_t;//队列数据类型#defineN64//队列容量typ
Python神器！WEB自动化测试集成工具 DrissionPage 亚丁号 python 开发语言
一、前言用requests做数据采集面对要登录的网站时，要分析数据包、JS源码，构造复杂的请求，往往还要应付验证码、JS混淆、签名参数等反爬手段，门槛较高。若数据是由JS计算生成的，还须重现计算过程，体验不好，开发效率不高。使用浏览器，可以很大程度上绕过这些坑，但浏览器运行效率不高。因此，这个库设计初衷，是将它们合而为一，能够在不同须要时切换相应模式，并提供一种人性化的使用方法，提高开发和运行效率
Java爬虫框架（一）--架构设计狼图腾-狼之传说 java 框架 java 任务 html解析器存储电子商务
一、架构图那里搜网络爬虫框架主要针对电子商务网站进行数据爬取，分析，存储，索引。爬虫：爬虫负责爬取，解析，处理电子商务网站的网页的内容数据库：存储商品信息索引：商品的全文搜索索引Task队列：需要爬取的网页列表Visited表：已经爬取过的网页列表爬虫监控平台：web平台可以启动，停止爬虫，管理爬虫，task队列，visited表。二、爬虫1.流程1)Scheduler启动爬虫器，TaskMast
Enum用法不懂事的小屁孩 enum
以前的时候知道enum，但是真心不怎么用，在实际开发中，经常会用到以下代码: protected final static String XJ = "XJ"; protected final static String YHK = "YHK"; protected final static String PQ = "PQ";
【Spark九十七】RDD API之aggregateByKey bit1129 spark
1. aggregateByKey的运行机制 /** * Aggregate the values of each key, using given combine functions and a neutral "zero value". * This function can return a different result type
hive创建表是报错： Specified key was too long; max key length is 767 bytes daizj hive
今天在hive客户端创建表时报错，具体操作如下 hive> create table test2(id string); FAILED: Execution Error, return code 1 from org.apache.hadoop.hive.ql.exec.DDLTask. MetaException(message:javax.jdo.JDODataSto
Map 与 JavaBean之间的转换周凡杨 java 自省转换反射
最近项目里需要一个工具类，它的功能是传入一个Map后可以返回一个JavaBean对象。很喜欢写这样的Java服务，首先我想到的是要通过Java 的反射去实现匿名类的方法调用，这样才可以把Map里的值set 到JavaBean里。其实这里用Java的自省会更方便，下面两个方法就是一个通过反射，一个通过自省来实现本功能。 1：JavaBean类 1 &nb
java连接ftp下载 g21121 java
有的时候需要用到java连接ftp服务器下载，上传一些操作，下面写了一个小例子。 /** ftp服务器地址 */ private String ftpHost; /** ftp服务器用户名 */ private String ftpName; /** ftp服务器密码 */ private String ftpPass; /** ftp根目录 */ private String f
web报表工具FineReport使用中遇到的常见报错及解决办法（二）老A不折腾 finereport web报表 java报表总结
抛砖引玉，希望大家能把自己整理的问题及解决方法晾出来，Mark一下，利人利己。出现问题先搜一下文档上有没有，再看看度娘有没有，再看看论坛有没有。有报错要看日志。下面简单罗列下常见的问题，大多文档上都有提到的。 1、没有返回数据集：在存储过程中的操作语句之前加上set nocount on 或者在数据集exec调用存储过程的前面加上这句。当S
linux 系统cpu 内存等信息查看墙头上一根草 cpu 内存 liunx
1 查看CPU 　　1.1 查看CPU个数　　# cat /proc/cpuinfo | grep "physical id" | uniq | wc -l 　　2 　　**uniq命令：删除重复行;wc –l命令：统计行数** 　　1.2 查看CPU核数　　# cat /proc/cpuinfo | grep "cpu cores" | u
Spring中的AOP aijuans spring AOP
Spring中的AOP Written by Tony Jiang @ 2012-1-18 （转）何为AOP AOP，面向切面编程。在不改动代码的前提下，灵活的在现有代码的执行顺序前后，添加进新规机能。来一个简单的Sample: 目标类： [java] view plain copy print ? package&nb
placeholder(HTML 5) IE 兼容插件 alxw4616 JavaScript jquery jQuery插件
placeholder 这个属性被越来越频繁的使用. 但为做HTML 5 特性IE没能实现这东西. 以下的jQuery插件就是用来在IE上实现该属性的. /** * [placeholder(HTML 5) IE 实现.IE9以下通过测试.] * v 1.0 by oTwo 2014年7月31日 11:45:29 */ $.fn.placeholder = function
Object类,值域,泛型等总结(适合有基础的人看) 百合不是茶泛型的继承和通配符变量的值域 Object类转换
java的作用域在编程的时候经常会遇到,而我经常会搞不清楚这个问题,所以在家的这几天回忆一下过去不知道的每个小知识点变量的值域; package 基础; /** * 作用域的范围 * * @author Administrator * */ public class zuoyongyu { public static vo
JDK1.5 Condition接口 bijian1013 java thread Condition java多线程
Condition 将 Object 监视器方法（wait、notify和 notifyAll）分解成截然不同的对象，以便通过将这些对象与任意 Lock 实现组合使用，为每个对象提供多个等待 set （wait-set）。其中，Lock 替代了 synchronized 方法和语句的使用，Condition 替代了 Object 监视器方法的使用。条件（也称为条件队列或条件变量）为线程提供了一
开源中国OSC源创会记录 bijian1013 hadoop spark MemSQL
一.Strata+Hadoop World（SHW）大会是全世界最大的大数据大会之一。SHW大会为各种技术提供了深度交流的机会，还会看到最领先的大数据技术、最广泛的应用场景、最有趣的用例教学以及最全面的大数据行业和趋势探讨。二.Hadoop &nbs
【Java范型七】范型消除 bit1129 java
范型是Java1.5引入的语言特性，它是编译时的一个语法现象，也就是说，对于一个类，不管是范型类还是非范型类，编译得到的字节码是一样的，差别仅在于通过范型这种语法来进行编译时的类型检查，在运行时是没有范型或者类型参数这个说法的。范型跟反射刚好相反，反射是一种运行时行为，所以编译时不能访问的变量或者方法(比如private)，在运行时通过反射是可以访问的，也就是说，可见性也是一种编译时的行为，在
【Spark九十四】spark-sql工具的使用 bit1129 spark
spark-sql是Spark bin目录下的一个可执行脚本，它的目的是通过这个脚本执行Hive的命令，即原来通过 hive>输入的指令可以通过spark-sql>输入的指令来完成。 spark-sql可以使用内置的Hive metadata-store，也可以使用已经独立安装的Hive的metadata store 关于Hive build into Spark
js做的各种倒计时 ronin47 js 倒计时
第一种：精确到秒的javascript倒计时代码 HTML代码: <form name="form1"> <div align="center" align="middle"
java-37.有n 个长为m+1 的字符串，如果某个字符串的最后m 个字符与某个字符串的前m 个字符匹配，则两个字符串可以联接 bylijinnan java
public class MaxCatenate { /* * Q.37 有n 个长为m+1 的字符串，如果某个字符串的最后m 个字符与某个字符串的前m 个字符匹配，则两个字符串可以联接， * 问这n 个字符串最多可以连成一个多长的字符串，如果出现循环，则返回错误。 */ public static void main(String[] args){
mongoDB安装开窍的石头 mongodb安装基本操作
mongoDB的安装 1:mongoDB下载 https://www.mongodb.org/downloads 2:下载mongoDB下载后解压
[开源项目]引擎的关键意义 comsci 开源项目
一个系统，最核心的东西就是引擎。。。。。而要设计和制造出引擎，最关键的是要坚持。。。。。。现在最先进的引擎技术，也是从莱特兄弟那里出现的，但是中间一直没有断过研发的
软件度量的一些方法 cuiyadll 方法
软件度量的一些方法http://cuiyingfeng.blog.51cto.com/43841/6775/在前面我们已介绍了组成软件度量的几个方面。在这里我们将先给出关于这几个方面的一个纲要介绍。在后面我们还会作进一步具体的阐述。当我们不从高层次的概念级来看软件度量及其目标的时候，我们很容易把这些活动看成是不同而且毫不相干的。我们现在希望表明他们是怎样恰如其分地嵌入我们的框架的。也就是我们度量的
XSD中的targetNameSpace解释 darrenzhu xml namespace xsd targetnamespace
参考链接: http://blog.csdn.net/colin1014/article/details/357694 xsd文件中定义了一个targetNameSpace后，其内部定义的元素，属性，类型等都属于该targetNameSpace,其自身或外部xsd文件使用这些元素，属性等都必须从定义的targetNameSpace中找：例如：以下xsd文件，就出现了该错误，即便是在一
什么是RAID0、RAID1、RAID0+1、RAID5，等磁盘阵列模式? dcj3sjt126com raid
RAID 1又称为Mirror或Mirroring，它的宗旨是最大限度的保证用户数据的可用性和可修复性。 RAID 1的操作方式是把用户写入硬盘的数据百分之百地自动复制到另外一个硬盘上。由于对存储的数据进行百分之百的备份，在所有RAID级别中，RAID 1提供最高的数据安全保障。同样，由于数据的百分之百备份，备份数据占了总存储空间的一半，因而，Mirror的磁盘空间利用率低，存储成本高。 Mir
yii2 restful web服务快速入门 dcj3sjt126com PHP yii2
快速入门 Yii 提供了一整套用来简化实现 RESTful 风格的 Web Service 服务的 API。特别是，Yii 支持以下关于 RESTful 风格的 API：支持 Active Record 类的通用API的快速原型涉及的响应格式（在默认情况下支持 JSON 和 XML) 支持可选输出字段的定制对象序列化适当的格式的数据采集和验证错误
MongoDB查询(3)——内嵌文档查询（七） eksliang MongoDB查询内嵌文档 MongoDB查询内嵌数组
MongoDB查询内嵌文档转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2177301 一、概述有两种方法可以查询内嵌文档：查询整个文档；针对键值对进行查询。这两种方式是不同的，下面我通过例子进行分别说明。二、查询整个文档例如:有如下文档 db.emp.insert({ &qu
android4.4从系统图库无法加载图片的问题 gundumw100 android
典型的使用场景就是要设置一个头像，头像需要从系统图库或者拍照获得，在android4.4之前，我用的代码没问题，但是今天使用android4.4的时候突然发现不灵了。baidu了一圈，终于解决了。下面是解决方案： private String[] items = new String[] { "图库","拍照" }; /* 头像名称 */
网页特效大全 jQuery等 ini JavaScript jquery css html5 ini
HTML5和CSS3知识和特效 asp.net ajax jquery实例分享一个下雪的特效 jQuery倾斜的动画导航菜单选美大赛示例你会选谁 jQuery实现HTML5时钟功能强大的滚动播放插件JQ-Slide 万圣节快乐！！！向上弹出菜单jQuery插件 htm5视差动画 jquery将列表倒转顺序推荐一个jQuery分页插件 jquery animate
swift objc_setAssociatedObject block(version1.2 xcode6.4) 啸笑天 version
import UIKit class LSObjectWrapper: NSObject { let value: ((barButton: UIButton?) -> Void)? init(value: (barButton: UIButton?) -> Void) { self.value = value
Aegis 默认的 Xfire 绑定方式，将 XML 映射为 POJO MagicMa_007 java POJO xml Aegis xfire
Aegis 是一个默认的 Xfire 绑定方式，它将 XML 映射为 POJO, 支持代码先行的开发.你开发服务类与 POJO,它为你生成 XML schema/wsdl XML 和注解映射概览默认情况下，你的 POJO 类被是基于他们的名字与命名空间被序列化。如果
js get max value in (json) Array qiaolevip 每天进步一点点学习永无止境 max 纵观千象
// Max value in Array var arr = [1,2,3,5,3,2];Math.max.apply(null, arr); // 5 // Max value in Jaon Array var arr = [{"x":"8/11/2009","y":0.026572007},{"x"
XMLhttpRequest 请求 XML,JSON ,POJO 数据 Luob. POJO json Ajax xml XMLhttpREquest
在使用XMlhttpRequest对象发送请求和响应之前，必须首先使用javaScript对象创建一个XMLHttpRquest对象。 var xmlhttp； function getXMLHttpRequest(){ if(window.ActiveXObject){ xmlhttp:new ActiveXObject("Microsoft.XMLHTTP
jquery wuai jquery
以下防止文档在完全加载之前运行Jquery代码，否则会出现试图隐藏一个不存在的元素、获得未完全加载的图像的大小等等 $(document).ready(function(){ jquery代码; }); <script type="text/javascript" src="c:/scripts/jquery-1.4.2.min.js&quo