铺瓷砖问题 （状态压缩动态规划） (一)
作者: Phill King
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题目地址：http://poj.org/problem?id=2411
问题简单描述：
在一个N行M列的格子里，现有1*2大小的瓷砖，可以横着或者竖着铺。问一共有多少种方案，可以将整个N*M的空间都填满。
示例：
N=2 ,M=4 一共5种方案
N = 2,M = 3； 一共3种方案
问题分析：
1. 因为每块瓷砖的面积是2，所以总面积M*N必须是偶数才能铺满。如果是奇数，则方案数显然为0.
2. 分析一下覆盖的状态，用二进制来代表具体覆盖的方案：
用二进制来代表每一行的覆盖状态。 (0,1)代表竖着铺，(1,1)代表横着铺。
铺满的时候最后一排必然全部都是1.
状态转移:
此问题的状态转移比较复杂:
上一行的某个状态对应当前行的多个状态; 当前行的某个状态也可以来自上一行的多个状态。
状态转移示意图:
通过观察我们可以看到上一行到下一行状态转移的关系如下：
(注: 此处上一格代表上一行同一列位置的格子， 后一格代表同一行右侧的格子)
对于当前行的某一格来说:
- 如果上一格是0， 当前格必须是1.
- 如果上一格是1，
- 当前格可以是0，也可以是1，说明既可以竖着铺，也可以横着铺
- 如果当前格是横铺的第一个1，则后一格必须也是1，并且后一格的上一格不能为0
据此我们可以设计判断当前行能否从上一行状态转移过来的逻辑。
例子:
合法转移:
dp[i][10011] += dp[i-1][01100]
dp[i][10011] += dp[i-1][01111]
无法转移:
初始状态：
第一行是没有上一行的，为了避免单独写第一行的逻辑。我们可以假设在第一行之上还存在初始行，我们把初始行的状态设为全1的时候方案为1，其他状态方案为0。 这样同样的逻辑我们可以转移到合法的第一行状态。
（注意：初始行只是提供初始状态，不需要考虑初始行本身全1是否合法。）
具体代码如下:
#include
#include
#include
using namespace std;
bool validateLines(int upper, int lower, int width){
for(int i=0; i>i)&1) == 0){ // upper line grid is 0 .
if(((lower>>i)&1) == 0){
return false;
}
i++;
}else if(((lower>>i)&1) != 0){ // upper and current line grid is 1 .
if(i == width-1 || ((lower>>(i+1))&1) == 0 || ((upper>>(i+1)&1)==0) ){
return false;
}else{
i+=2;
}
}else{ // upper grid is 1, current grid is 0.
i++;
}
}
return true;
}
long long int getCoverWays(int rows, int cols){
// the size of area must be even.
if((rows*cols)%2 != 0){
return 0;
}
// make sure columns is smaller;
if(cols>rows){
swap(rows,cols);
}
const int STATE_LIMIT = 1< > dp(2, vector(STATE_LIMIT,0));
int cur = 0;
dp[cur][STATE_LIMIT-1] = 1; // set the initial state before first line
for(int i=0; i 算法的时间复杂度为 
, 因为M对时间的影响较大，如果M>N，可以交换二者，确保M的值较小。这样可以提高速度。
空间压缩：
因为只需要用到当前行和上一行的状态，所以只需要两个2^M的数组来保存状态即可。
总结:
这是一道经典的状态压缩动态规划问题。本文用整行作为状态来设计动态规划的算法，思路清晰，代码简洁。
本方法时间复杂度较高，还可以通过轮廓线动态规划的方法来进一步优化时间复杂度。
读者可以参考后续的文章 铺瓷砖问题(二)。