泊松分布的理解与Python仿真

我们首先从一个实例出发，来分析缘何泊松分布在经济社会生活中如此频繁地出现和使用。

已知某家小杂货店，平均每周售出两个水果罐头，请问该水果店的最佳库存量是多少？（或者这么问，如果你是商家，你该如何储备货物？）

假定不存在季节因素，可以近似认为，该问题满足以下三个条件：

• 顾客购买水果罐头是小概率事件；（注意泊松分布刻画的是 rare events）
• 购买水果罐头的顾客之间是独立的，也即不会互相依赖或者影响；
• 顾客购买水果罐头的概率是稳定的；

在统计学上，如果某类事件满足上述三个条件，就称它服从泊松分布（poisson distribution），泊松分布的概率质量函数（pmf，probability mass function）：

p(X=k)=e−λλkk!

各个参数的现实意义如下：

• X ：该问题关注的离散型随机变量（random variable），每周销售的罐头数量

• P(X=k) ，每周销售 k 个罐头的概率

• k ：取值为全体自然数 (0,1,2,3,…)

• λ ：每周水果罐头的平均销售量，是一个常数，本例为2

我们用Python中的Scipy库中的相关类与函数实现对这一问题的仿真：

>>> import scipy.stats as st
>>> rv = st.poisson(2)
>>> [(rv.pmf(i), rv.cdf(i)) for i in range(7)]
            # pmf: probability mass function，概率质量函数
            # cdf：cumulative distribution function，累积分布函数                   
[(0.1353352832366127, 0.1353352832366127),
 (0.2706705664732254, 0.406005849709838),
 (0.2706705664732254, 0.67667641618306362),
 (0.18044704431548356, 0.85712346049854704),
 (0.090223522157741778, 0.94734698265628892),
 (0.036089408863096722, 0.98343639151938556),
 (0.012029802954365565, 0.99546619447375118)]

上述数据可见，如果存货4个罐头，94.7%的概率不会缺货（缺货的概率为5.3%， 15.3%≈19 ，平均19周发生一次缺货），如果存货5个罐头，98.3%的概率不会缺货（发生缺货的概率为1.7%， 11.7%≈59 ，平均59周（一年零2个月）发生一次缺货）。

从泊松分布到泊松过程

P(N(t)=n)=(λt)ne−λtn!

已知平均每个小时出生三个婴儿， λ=3
一个小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1)=3) ，接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率为：

P(N(2)=0)=(3×2)0e−3×20!≈0.00248

接下来两个小时，至少出生俩个婴儿的概率：

P(N(2)≥2)=1−P(N(2)<2)=1−P(N(2)=1)−P(N(2)=0)

泊松分布与美国枪击案

我们首先来判断”美国枪击案发生的次数”是否满足”泊松分布”的三个条件：

• 枪击案是小概率事件

• 枪击案之间彼此独立，不会互相影响

• 枪击案的发生概率是稳定的

显然，第三个条件是关键，如果成立，说明美国的治安没有恶化；如果不成立，说明枪击案的发生概率不稳定。根据资料1982-2012的31年间枪击案的分布情况为：

一年中发生枪击案的数量	年数
0	4
1	10
2	7
3	5
4	4
5	0
6	0
7	1

经过简单计算，平均每年发生枪击案的次数为：

>>> num_years = [4, 10, 7, 5, 4, 0, 0, 1]
>>> lmbda = sum(x*y for x, y in zip(range(8), num_years))/sum(num_years)
                    # lmbda = 2.0                   

接下来，我么通过泊松分布来仿真”美国每年发生枪击案的次数”：

import numpy as np
import scipy.stats as st
import matplotlib.pyplot as plt

rv = st.poisson(2)
num_years = [4, 10, 7, 5, 4, 0, 0, 1]
x = range(8)
plt.bar(np.array(x)-.4, num_years, label='Observed instances')
plt.plot(x, sum(num_years)*rv.pmf(x), ls='dashed', 
        lw=2, c='r', label='Poisson distribution\n$(\lambda=2.0)$')
plt.xlim([-1, 8])       
plt.ylim([0, 11])
plt.xlabel('# of mass shootings in a year')
plt.ylabel('# of years')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

上图中，蓝色的条形柱是实际的观察值，红色的虚线是理论的预期值，可以看到，观察值和预期值之间还是很接近的：

>>> [31*rv.pmf(i) for i in range(8)]
[4.1953937803349941,
 8.3907875606699882,
 8.3907875606699882,
 5.5938583737799901,
 2.796929186889995,
 1.1187716747559984,
 0.37292389158533251,
 0.10654968331009501]

一年中发生枪击案的数量	观察值	预期值（理论值）
0	4	4.2
1	10	8.39
2	7	8.39
3	5	5.59
4	4	2.8
5	0	1.12
6	0	0.37
7	1	0.11

我们用”卡方检验”（chi-square test），来检验观察值与期望值之间是否存在显著差异。

References

[1] 泊松分布与美国枪击案