解决复杂问题的思路

复杂问题求解的最终思路均是:简化问题。

  • 分类讨论(不失一般性的设,其实是避免了分类讨论);问题简化(规模,分类情况

1. 从简单入手(巫婆和公主)

n n n 等于一个很大值时的解决方案。可先从 n = 1 , n = 2 , n = 3 n=1,n=2,n=3 n=1,n=2,n=3 等简单的问题出发,试图归纳出一般性的结论。其实这正是数学归纳法的思想。

比如 19 个巫婆和一个公主的案例:逻辑推理训练 。

  • 情况 1:首先考虑:一个巫婆,一个公主; ⇒ 吃
  • 情况 2:然后考虑:两个巫婆,一个公主;⇒ 不吃
  • 情况 3:接着考虑:三个巫婆,一个公主;⇒ 吃,因为会变成情况 2
  • 情况 4:接着考虑:四个巫婆,一个公主;⇒ 不吃,否则会变成情况 3
  • 情况 5:五个巫婆,一个公主;吃;

所以,总结出一个一般性的结论是,吃和不吃公主会交替出现,也即分别为奇数和偶数个巫婆时。

2. 边际考虑:从最后(有优先顺序时)开始考虑(海盗分金)

3. 极限思维法

极限思维法:得到的是大致范围,得到的是一个区间(下限和上限);

不失一般性的,先考虑特殊情况,而不是复杂的,具有较多情况的。

考虑给浴缸灌水的问题,

  • 如果只开冷水龙头,灌满浴缸需要 半个小时;
  • 如果只开热水龙头,灌满浴缸需要 1 个小时;
  • 如果冷热同时打开,灌满浴缸需要多长时间;

当然也可以列方程、设未知数来计算。这里我们使用极限思维法获取其大致范围,

  • 小于只开热水龙头,$ < 1$
  • 小于只开冷水龙头, < 0.5 <0.5 <0.5
  • 大于两个都是冷水龙头, > 0.25 >0.25 >0.25

所以,最终的交集为 0.25 < x < 0.5 0.25<x<0.5 0.25<x<0.5

4. 学会转化

卡文迪许扭秤实验,解决问题的思路是,将不易观察的微小变化量,(多次放大)转化为容易观察的显著变化量,再根据显著变化量与微小量的关系算出微小的变化量 。

  • 一张 100 块人民币的厚度 ⇒ 一沓钱的厚度
  • 一张纸的厚度 ⇒ 对叠多次的厚度

5. 从简单问题出发

已知 a i ≥ 0    ( i = 1 , 2 , … , n ) a_i\geq 0\;(i=1,2,\ldots,n) ai0(i=1,2,,n),且 ∑ i n a i = 1 \sum_i^na_i=1 inai=1,求证:

1 ≤ ∑ i = 1 n a i ≤ n 1\leq \sum_{i=1}^n\sqrt{a_i}\leq \sqrt{n} 1i=1nai n

从简单问题出发,来看为两项时候的处理方法: 1 ≤ a 1 + a 2 ≤ 2 1\leq \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}\leq \sqrt 2 1a1 +a2 2 ,不等式两边同时平方, 1 ≤ a 1 + a 2 + 2 a 1 a 2 ≤ 2 1\leq a_1+a_2+2\sqrt{a_1a_2}\leq 2 1a1+a2+2a1a2 2 0 ≤ 2 a 1 a 2 ≤ 2 − 1 = a 1 + a 2 0\leq 2\sqrt{a_1a_2}\leq 2-1=a_1+a_2 02a1a2 21=a1+a2,是显然成立的。

所以对于, 1 ≤ ∑ i = 1 n a i ≤ n 1\leq \sum_{i=1}^n\sqrt{a_i}\leq \sqrt{n} 1i=1nai n ,两边同时平方得:

1 ≤ ∑ i a i + 2 ∑ 1 ≤ i < j ≤ n a i a j ≤ n 1\leq \sum_i{a_i}+2\sum_{1\leq i<j\leq n}\sqrt{a_ia_j}\leq n 1iai+21i<jnaiaj n

也即只需证明, 0 ≤ 2 ∑ 1 ≤ i < j ≤ n a i a j ≤ n − 1 0\leq 2\sum\limits_{1\leq i<j\leq n}\sqrt{a_ia_j}\leq n-1 021i<jnaiaj n1,又有, 2 a i a j ≤ a i + a j 2\sqrt{a_ia_j}\leq a_i+a_j 2aiaj ai+aj,所以有,

2 ∑ 1 ≤ i < j ≤ n a i a j ≤ ( n − 1 ) ( a 1 + a 2 + … + a n ) = n − 1 2\sum_{1\leq i<j\leq n}\sqrt{a_ia_j}\leq (n-1)(a_1+a_2+\ldots+a_n)=n-1 21i<jnaiaj (n1)(a1+a2++an)=n1

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