解决复杂问题的思路

复杂问题求解的最终思路均是：简化问题。

• 分类讨论（不失一般性的设，其实是避免了分类讨论）；问题简化（规模，分类情况）

1. 从简单入手（巫婆和公主）

问 $n$ 等于一个很大值时的解决方案。可先从 $n=1,n=2,n=3$ 等简单的问题出发，试图归纳出一般性的结论。其实这正是数学归纳法的思想。

比如 19 个巫婆和一个公主的案例：逻辑推理训练 。

• 情况 1：首先考虑：一个巫婆，一个公主； ⇒ 吃
• 情况 2：然后考虑：两个巫婆，一个公主；⇒ 不吃
• 情况 3：接着考虑：三个巫婆，一个公主；⇒ 吃，因为会变成情况 2
• 情况 4：接着考虑：四个巫婆，一个公主；⇒ 不吃，否则会变成情况 3
• 情况 5：五个巫婆，一个公主；吃；

所以，总结出一个一般性的结论是，吃和不吃公主会交替出现，也即分别为奇数和偶数个巫婆时。

2. 边际考虑：从最后（有优先顺序时）开始考虑（海盗分金）

3. 极限思维法

极限思维法：得到的是大致范围，得到的是一个区间（下限和上限）；

不失一般性的，先考虑特殊情况，而不是复杂的，具有较多情况的。

考虑给浴缸灌水的问题，

• 如果只开冷水龙头，灌满浴缸需要 半个小时；
• 如果只开热水龙头，灌满浴缸需要 1 个小时；
• 如果冷热同时打开，灌满浴缸需要多长时间；

当然也可以列方程、设未知数来计算。这里我们使用极限思维法获取其大致范围，

• 小于只开热水龙头，$ < 1$
• 小于只开冷水龙头，$<0.5$
• 大于两个都是冷水龙头，$>0.25$

所以，最终的交集为 $0.25<x<0.5$。

4. 学会转化

卡文迪许扭秤实验，解决问题的思路是，将不易观察的微小变化量，（多次放大）转化为容易观察的显著变化量，再根据显著变化量与微小量的关系算出微小的变化量 。

• 一张 100 块人民币的厚度 ⇒ 一沓钱的厚度
• 一张纸的厚度 ⇒ 对叠多次的厚度

5. 从简单问题出发

已知 $a_i\ge 0(i=1,2,\dots ,n)$，且 ${\sum }_i^n{a}_i=1$，求证：

$$1\le \sum _{i=1}^n\sqrt{a_i}\le \sqrt{n}$$

从简单问题出发，来看为两项时候的处理方法：$1\le \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}\le \sqrt{2}$，不等式两边同时平方，$1\le a_1+a_2+2\sqrt{a_1{a}_2}\le 2$ ⇒ $0\le 2\sqrt{a_1{a}_2}\le 2-1=a_1+a_2$，是显然成立的。

所以对于，$1\le {\sum }_{i=1}^n\sqrt{a_i}\le \sqrt{n}$，两边同时平方得：

$$1\le \sum _i{a}_i+2\sum _{1\le i<j\le n}\sqrt{a_i{a}_j}\le n$$

也即只需证明，$0\le 2\sum _{1\le i<j\le n}\sqrt{a_i{a}_j}\le n-1$，又有，$2\sqrt{a_i{a}_j}\le a_i+a_j$，所以有，

$$2\sum _{1\le i<j\le n}\sqrt{a_i{a}_j}\le (n-1)(a_1+a_2+\dots +a_n)=n-1$$