恨7不成妻

题解 恨7不成妻

前言

好题，真是好题，真是奋斗了摸了两天才勉强做出来的好题。

感谢fr大佬的讲解，对数位dp加深了不少理解。深刻发现：菜鸡打了300+行代码，大佬100行就解决了，效率还更高。太菜了(* ￣︿￣)！

题解

这么明显的提示，很容易就能发现是数位dp吧

这道题第一次我做的时候有困难，我就去请教了fr大佬。经大佬指教之后，感觉新的解法和旧的解法有比较大的区别。这里就不提原本的解法，直接讲优化后的解法

\(dp\)式子

观察题面，我们不难发现：这道题居然求的不是个数，不是和，而是平方和，一时间感觉很难递推。

由于是递归，我们在求解\(k\)位的时候，\(k-1\)的情况已经推完了

我们设第\(k\)位为\(A\)，设\(k-1位\)为\(B\)，利用完全平方公式

\[(a+b)^2=a^2+2\times a \times b + b^2 \]

由于事实上一个状态由多个状态递推过来，所以实际上

\[dp=\sum a^2+2\times a \times b + b^2 \]

\(\sum a^2\)需要利用到前一个状态的个数；

\(\sum 2\times a \times b\)中可以提取\(\sum 2\times a\)作为公因数，剩下的\(\sum b\)需要利用到前一个状态的和

\(\sum b^2\)需要利用到前一个状态的平方和

因此我们需要同时维护三个\(dp\)

\(f[i][j][k]\)记录的是数字的各个数位上的数字之和\(\mod 7 = i\)，数字\(\mod 7 = j\)，的\(k\)位数的个数

\(g[i][j][k]\)记录的是数字的各个数位上的数字之和\(\mod 7 = i\)，数字\(\mod 7 = j\)，的\(k\)位数的和

\(h[i][j][k]\)记录的是数字的各个数位上的数字之和\(\mod 7 = i\)，数字\(\mod 7 = j\)，的\(k\)位数的平方和

\[f[i][j][k]=\sum_{p=0}^{9}(p\not=7) f[ti][tj][k-1] \]

且\(ti+p\mod 7 =i\),\(tj+p\times 10^{k-1}\mod 7 =j\)

\[g[i][j][k]=\sum_{p=0}^{9}(p\not=7) p\times 10^{k-1}\times f[ti][tj][k-1]+g[ti][tj][k-1] \]

\[h[i][j][k]=\sum_{p=0}^{9}(p\not=7) \sum f[ti][tj][k-1](p\times 10^{k-1}+符合[ti][tj][k-1])^2 \]

进一步推出\(\Rightarrow\)

\[h[i][j][k]=\sum_{p=0}^{9}(p\not=7) p^2\times 10^{2k-2}\times g[ti][tj][k-1]+2\times p \times 10^{k-1} \times g[ti][tj][k-1]+h[ti][tj][k-1] \]

emm，dp推完了！ˋ( ° ▽、° )

tips:dp过程中，无需考虑零的位置。也就是说，由前置零的情况也被计算进去了

数位dp求解

经过fr大佬指点，认识到了数位dp更优秀的求解方法

从高位向低位直接枚举，然后通过限制"前缀"的方法，时候后面的数字可以自由组合，充分利用上了dp

举例说明，以3245为例：

1. 从最高为——千位开始，由于千位上是3，因此分别尝试0,1,2,后面的3位数可以自由组合
2. 第二高位是百位，数字是2，那么就尝试30,31,后面2位数字自由组合
3. 之后是十位，数字是4，尝试320,321,322,323，后面一位数自由组合。
4. 只剩最后一位了，暴力枚举即可

我之前做的时候，特意在dp中避免了前缀零的情况，导致了dp推导麻烦，数位求解也麻烦。欸，是我太菜了{{{(>_<)}}}

完整代码

code:

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll MOD=1e9+7;
ll f[7][7][25],g[7][7][25],h[7][7][25],tim[45],tims[45];
int T;

void init();
inline void inc(ll&,ll);
ll calc(ll);

int main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("test.in","r",stdin);
	#endif

	init();

	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		ll l,r; cin>>l>>r;
		ll ansl=calc(l-1ll),ansr=calc(r);
		cout<<(((ansr-ansl)%MOD+MOD)%MOD)<=MOD?a-=MOD:a;
}

ll calc(ll num){
	ll ans=0;
	if(num<10){
		for(int i=1;i<=num;++i){
			if(i==7) continue;
			ans+=i*i;
		}
		return ans;
	}

	int line[20]; line[0]=0;
	while(num) {line[++line[0]]=num%10; num/=10;}
	ll add=0,sum=0;
	for(int k=line[0];k>=2;--k){
		for(int p=0;p<=line[k]-1;++p){
			if(p==7) continue;
			add+=p; sum=sum*10ll+p;
			for(int i=0;i<=6;++i){
				if((add+i)%7==0) continue;
				for(int j=0;j<=6;++j){
					if((sum%7ll*tims[k-1]+j)%7==0) continue;
					// h[i][j][k]+=f[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1]*p*p*tim[2*k-2];
					// h[i][j][k]+=2*p*tim[k-1]*g[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1];
					// h[i][j][k]+=h[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1];
					ll tmp=sum; tmp%=MOD; tmp*=tmp; tmp%=MOD;
					tmp*=f[i][j][k-1]; tmp%=MOD;
					tmp*=tim[2*k-2]; tmp%=MOD;
					inc(ans,tmp);
					tmp=2ll*sum; tmp%=MOD;
					tmp*=tim[k-1]; tmp%=MOD;
					tmp*=g[i][j][k-1]; tmp%=MOD;
					inc(ans,tmp);
					inc(ans,h[i][j][k-1]);
				}
			}
			add-=p; sum-=p; sum/=10ll;
		}
		if(line[k]==7) return ans;
		add+=line[k]; sum=sum*10ll+line[k];
	}

	for(int p=0;p<=line[1];++p){
		if(p==7) continue;
		if((add+p)%7==0) continue;
		if((sum*tims[1]+p)%7==0) continue;
		ll tmp=sum*tim[1]+p; tmp%=MOD; tmp*=tmp; tmp%=MOD;
		inc(ans,tmp);
	}
	return ans;
}