14.圆幂定理

圆幂定理，包含了相交弦定理，切割线定理，以及割线定理三种情形。但三种情形十分类似，因此统称圆幂定理。

相交弦定理

设AB和CD是圆中的一组相交弦，交点为P，则PA×PB=PC×PD

相交弦

证明：
连接AD,BC

证明图

大前提：同弧所对的圆周角相等，
小前提：角A和角C是同一段弧所对的圆周角
结论：角A和角C相等

同理，角B和角D相等

大前提：有两组角相等的三角形是相似三角形
小前提：三角形APD和三角形CPB中，有上述两组角相等
结论：三角形APD与三角形CPB相似

大前提：相似三角形对应边成比例
小前提：上述相似三角形
结论：PA/PC=PD/PB

大前提：等式两边同时乘以相等的非零量，得到的等式还成立
小前期：以上等式中，线段长度非零
结论：在上述等式两边同时乘以PC×PB，得到
PA×PB=PC×PD

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以上只是尝试三段论的完整写法，实际证明中，不必如此书写。大前提来自《几何原本》的，被认为是众所周知的。或者现代来自教科书的定理。

割线定理

自圆外一点P，向圆引两割线，一条交圆于A,B点，一条交圆与C,D点。则PA×PB=PC×PD。

实际上，相交弦定理，也可以看成，自圆内一点，引圆的两条割线。因此，这两个定理看起来不同，实际上区别不大。

两条割线

证明方法也同相交弦定理一样，作出辅助线以后，找到等角，用相似可证明。

切割线定理

自圆外一点P，向圆引一切线和一割线，切线切圆于点A，割线交圆与点C,点D。则

切线与割线

切线可以看成割线的极限情形，割圆的两点重合的时候，就得到这个定理。如果一定要证明，证明的方法一样，添加辅助线AC，AD即可，角CAP是弦切角，与角D相等，依然用相似可证明。

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以上定理统称圆幂定理，那么，究竟什么是圆幂呢？从数值上看，圆幂就是PA×PB，给定圆以后，只与P点的位置有关。

也就是说，给定了圆，平面上每一个点都有圆幂。所谓圆幂，是一点对一圆的幂。不同的点对同一个圆，圆幂可能不同。同一个点对不同的圆，圆幂也可能不同。

一个点和一个圆，必须同时给定，才有圆幂。

（1）当点在圆外的时候，圆幂在数值上就是PA×PB，而这个数值恒等于切线长的平方。

切线长的平方

如图，设这个圆半径为 r, 那么切线长的平方

所以，P点对圆(O,r)的幂被定义为：

只与点和圆有关。

（2）当点在圆上的时候，圆幂为0.

（3）当点在圆内时，圆幂数值上依然是PA×PB，而这时，PA与PB方向相反，所以，对圆内的点，规定圆幂为负的。按照PO的平方减去半径的平方来计算，也是负值。不需要改动定义。

点在圆内

此时，作过P的直径OP，在作过P垂直于OP的弦AB，圆幂在数值上还是等于PA×PB，绝对值还是PA的平方。

点P对圆（O,r）幂，按照定义，依然是：

很多书籍上喜欢写成

两种形式一样。