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语音识别MFCC系列（一）——连续信号、傅里叶变换

看了很多傅里叶变换（连续信号和离散信号）的博客，都写的不是很清楚，有些地方可能有误，我在查阅了书籍和大量资料以后，争取能用前后标注一致的公式把相关内容（帕斯瓦尔公式，能量信号，功率信号，能量密度谱，功率频谱等）讲清楚，说正确。最好先看连续信号再看离散信号哦

连续信号的请看语音识别MFCC系列（一）——连续信号、傅里叶变换

离散信号的请看语音识别MFCC系列（二）——离散信号、离散傅里叶变换

本文分别按顺序介绍，如果想弄懂，还是按顺序耐心看下去比较好，不过还是得有点数学功底的啦。

  • 连续        周期   信号的傅里叶  级数
  • 连续     非周期  信号的傅里叶  变换
  • 连续        周期   信号的傅里叶  变换

一、什么是傅里叶变换？

傅里叶变换就是将一个信号波形分为多个不同频率的余弦波形，成为频率分量。每个频率的余弦波形都有其对应的频率、幅值、相位。如下图所示，黑色的是原信号波形，其他颜色的均为频率分量，直线代表该频率分量幅值为0。

语音识别MFCC系列（一）——连续信号、傅里叶变换_第1张图片

二、连续周期信号的傅里叶级数

1. 傅里叶级数用下式表示，x\left ( t \right )为连续周期信号，周期为T_0，可以表示为多个频率分量之和，注意角频率分辨度\omega _0= \frac{2 \pi}{T_0}：

                                                  x( t ) = \frac{a _ { 0 }}{2} + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ a _ { n } \cos ( n \omega_0 t ) + b _ { n } \sin \left( n \omega _ { 0 } t \right) \right]

其中

 

                                                                \begin{align*} &a _ { 0 } = \frac { 2 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) d t \\ &a _ { n } = \frac { 2 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \cos n \omega_0 t d t \\ &b _ { n } = \frac { 2 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \sin n \omega_0 t d t \end{align*}

2. 将傅里叶级数换一种表达方式如下：

                                                         x ( t ) = \frac{A_0}{2} + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { n } \cos \left( n \omega _ { 0 } t + \varphi _ { n } \right)

其中

                                                                      \begin{align*} &A_0=a_0 \\ &A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} \\ &\varphi _n=-arctan \frac{b_n}{a_n} \end{align*}

先引入欧拉公式：

                                                                      e ^ { - i \theta } = \cos \theta - i \sin \theta

那么

                                                                      \cos \theta = \frac{e ^ { i \theta } + e ^ { - i \theta }}{2}

3. 那么引入傅里叶级数的复指数形式：

                                                  \begin{align*}x ( t ) &= \frac{A_0}{2} + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac{A _ { n } }{2}\left [ e ^ { j \left ( n \omega _ { 0 } t +\varphi _ { n } \right ) } + e ^ {- j \left ( n \omega _ { 0 } t +\varphi _ { n } \right ) } \right ]\\ &= \frac{1 }{2}\sum _ { n = -\infty } ^ { \infty } A _ { n } e ^ { j \varphi _ { n }} e ^ { j n \omega _ { 0 } t } =\sum _ { n = -\infty } ^ { \infty } X\left ( n \omega _ { 0 } \right )e ^ { j n \omega _ { 0 } t } \end{align*}

其中X\left ( n \omega _ { 0 } \right )为复傅里叶系数：

                                        \begin{align*}X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) &=\frac{1 }{2} A _ { n } e ^ { j \varphi _ { n }}= \frac{1 }{2}\left [ A_n \cos \varphi _n + j A_n \sin \varphi _n \right ]= \frac{1 }{2}(a_n-jb_n)\\ &= \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \cos n \omega_0 t d t -j\frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \sin n \omega_0 t d t \\ &= \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) e ^ {- j n \omega _ { 0 } t } d t\end{align*}

注意，因为\cos n \omega_0 t为n的偶函数，X\left ( n \omega _ { 0 } \right )的实轴\frac{1 }{2} a _ { n }=\frac {1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \cos n \omega_0 t d t也为n的偶函数，同理\sin n \omega_0 t为n的奇函数，X\left ( n \omega _ { 0 } \right )的虚轴- \frac{1 }{2} b _ { n }=- \frac {1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } /2 } ^ {T _ { 0 } /2 }x ( t ) \sin n \omega_0 t d t也为n的奇函数，那么正频率X\left ( n \omega _ { 0 } \right )为负频率X\left ( -n \omega _ { 0 } \right )的共轭，即X\left ( n \omega _ { 0 } \right )=X^*\left ( -n \omega _ { 0 } \right )，这个概念很重要，引申到离散傅里叶变换也很重要。

4. 连续周期信号的频谱

把\left | X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) \right | =\frac{1 }{2}A _ { n }随着频率变化的分布称为幅值频谱，为轴对称哦。注意傅里叶系数不等同于频率分量的波形峰值哦，直流分量的傅里叶系数等于该分量的波形峰值，其余频率分量的傅里叶系数等于该分量的波形峰值的一半，这里的负频率只是数学上的一种形式。

5. 连续周期信号的帕斯瓦尔公式

首先，如果把信号x\left ( t \right )视为加在1\Omega电阻两端的电压或通过的电流，那么电阻上消耗的平均功率为

                                                      \begin{align*}p &=\frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - \frac { T _ { 0 } } { 2 } } ^ { \frac { T _ { 0 } } { 2 } }\left | x ( t ) \right | ^ { 2 }d t \\ &= \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - \frac { T _ { 0 } } { 2 } } ^ { \frac { T _ { 0 } } { 2 } } \left [ \frac{A_0}{2} + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { n } \cos \left( n \omega _ { 0 } t + \varphi _ { n } \right)\right ] ^ { 2 }d t \\ &= \left( \frac { A _ { 0 } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 } A _ { n } ^ { 2 } \\ &= \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left | X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) \right | ^ { 2 } \end{align*}

平均功率p为有限值就是功率信号，很明显连续周期信号为功率信号（能量信号一会儿会介绍）。

连续周期信号的帕斯瓦尔公式就是上式的第一行和第四行，是针对功率的，代表一个周期信号的平均总功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和。

功率频谱（周期信号的，别的功率信号我不知道）就指的是各频率分量的平均功率，即\left | X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) \right | ^ { 2 }。

三、连续非周期信号的傅里叶变换

1.连续周期矩阵脉冲信号的傅里叶级数

语音识别MFCC系列（一）——连续信号、傅里叶变换_第2张图片

                                             X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) = \frac { E _ { \tau } } { T _ { 0 } } \frac { \sin \frac { 1 } { 2 } n \omega _ { 0 } \tau } { \frac { 1 } { 2 } n \omega _ { 0 } \tau }=\frac { E \tau } { T _ { 0 } } S a \left( \frac { n \omega _ { 0 } \tau } { 2 } \right) \quad n = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \cdots

如上图所知，频谱间隔为\omega _0=\frac{2\pi}{T_0}，与T_0成反比，第一个过零点为n\omega _0 = \frac { 2 \pi } { \tau }，与\tau成反比，傅里叶系数的幅值最大值为\frac { E \tau } { T _ { 0 } }，与T_0成反比。那么当T_0变得很大，\tau不变时，x\left ( t \right )就变成连续非周期信号，频谱间隔会很小，第一个过零点位置不变，那么频谱会变得很密集，直到变成连续的，但这时傅里叶系数的幅值最大值会非常小。

2. 连续非周期信号的傅里叶变换

为了克服T_0对X\left ( n \omega _ { 0 } \right )的影响，引入T_0X\left ( n \omega _ { 0 } \right )=\frac{2\pi X\left ( n \omega _ { 0 } \right )}{\omega _ { 0 }}，因其含有单位角频率所具有的意义，成为频谱密度函数，简称频谱。注意非周期信号的频谱是乘过T_0的。

将x\left ( t \right )按周期T_0进行周期性延拓为\hat { x } ( t )，得到\hat { x } ( t )的傅里叶级数：

                                                                      \hat { x } ( t ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) e ^ { j n \omega _ { 0 } t }

                                                                 \hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - \frac { T_0 } { 2 } } ^ { \frac { T _ { 0 } } { 2 } } \hat { x } ( t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { j } n \omega _ { 0 } t } \mathrm { d } t

我们需要：

                                                                  T_0 \hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) = \int _ { - \frac { T_0 } { 2 } } ^ { \frac { T _ { 0 } } { 2 } } \hat { x } ( t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { j } n \omega _ { 0 } t } \mathrm { d } t

当T _ { 0 } \rightarrow \infty时，\hat { x } ( t ) \rightarrow x ( t )，\hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) \rightarrow X \left( n \omega _ { 0 } \right)，\omega _ { 0 } \rightarrow d \omega，n w _ { 0 } \rightarrow \omega，T_0 \hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right)成为连续的频谱密度函数，记为X ( \omega )

                                                                       X ( \omega ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ( t ) e ^ { - j \omega t } d t

                                    x ( t ) = \lim _ { T _ { 0 } \rightarrow \infty } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) e ^ { \mathrm { j } n \omega _ { 0 } t }= \lim _ { T _ { 0 } \rightarrow \infty } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \pi } T _ { 0 } \hat { X } \left( n \omega _ { 0 } \right) e ^ { \mathrm { j } n w _ { 0 } t } \omega _ { 0 }

因此

                                                                      x ( t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } X ( \omega ) e ^ { \mathrm { j } \omega t } \mathrm { d } \omega

上述\mathscr { F } [ x ( t ) ] = X ( \omega )即为傅里叶变换，\mathscr { F } ^ { - 1 } [ X ( \omega ) ] = x ( t )即为傅里叶逆变换。

                              \begin{align*}x ( t ) &= \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } X ( \omega ) e ^ { \mathrm { j } \omega t } \mathrm { d } \omega= \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | X ( \omega ) | \mathrm { e } ^ { j [ \omega t + \varphi ( \omega ) ] } d \omega\\ &= \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | X ( \omega ) | \cos [ \omega t + \varphi ( \omega ) ] d \omega+ \frac { j } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | X ( \omega ) | \sin [ \omega t + \varphi ( \omega ) ] d \omega \end{align*}

因为第一部分为偶函数，第二部分为奇函数，所以：

                                                         x ( t ) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } | X ( \omega ) | \cos [ \omega t + \varphi ( \omega ) ] d \omega

表明一个非周期信号包含了频率从零到无限大的一切频率的余弦分量，而各分量的波形峰值\frac { 1 } { \pi } | X ( \omega ) | d \omega是无穷小量，因此与周期信号不一样，频谱不能用幅值表示，而用频谱密度函数X ( \omega )表示，可看做单位频率的振幅。

3. 能量信号的帕斯瓦尔公式

                                                         \int _ { - \infty} ^ { \infty } \left |x( t ) \right | ^ { 2 } d t =\frac { 1 } { 2\pi }\int _ { - \infty} ^ { \infty }\left | X\left ( \omega \right ) \right | ^ { 2 } d \omega

证明不写了，就是时域相乘对应频域卷积，然后用上面那些公式硬算。很明显部分连续非周期信号（比如在时域上长度有限的矩阵脉冲信号）为能量信号，就是上面这个式子能求出具体值，极限存在。那么连续能量信号的\left | X\left ( \omega \right ) \right | ^ { 2 }或者\left | X\left ( \omega \right ) \right | ^ { 2 }/\left ( 2\pi \right )为能量密度谱。和之前的连续功率信号对比一下，功率信号的\left | X\left ( n \omega _ { 0 } \right ) \right | ^ { 2 }为功率频谱哦！

因为能量密度谱是偶函数，所以信号的总能量为

                                                                E=\frac { 1 } { \pi }\int _ {0} ^ { \infty }\left | X\left ( \omega \right ) \right | ^ { 2 } d \omega

四、连续周期信号的傅里叶变换

                     X ( \omega ) =\mathscr { F } [ x ( t ) ] = \mathscr { F } \left[ \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } X \left( n \omega _ { 0 } \right) e ^ { j w _ { 0 } t } \right] = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } X \left( n \omega _ { 0 } \right) \mathscr { F } \left[ e ^ { j n \omega _ { 0 } t } \right]

                                       X( \omega)= \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } 2 \pi X \left( n \omega _ { 0 } \right) \delta \left( \omega - n \omega _ { 0 } \right)

周期信号的傅里叶变换（频谱密度函数，不是傅里叶级数哦），由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于周期信号的各谐波频率n\omega _0 \quad n = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \cdots处，其强度为傅里叶级数X \left( n \omega _ { 0 } \right)的2 \pi倍。

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    由于原来配置的hadoop data目录快要用满了，故准备修改配置文件增加数据目录，以便扩容，但由于疏忽，把core-site.xml, hdfs-site.xml配置文件dfs.datanode.data.dir 配置项增加了配置目录，但未创建实际目录，重启datanode服务时，报如下错误： 2014-11-18 08:51:39,128 WARN org.apache.hadoop.h
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           在Mac或者Linux下使用grep进行文件内容查找时，如果给定的目标搜索路径是当前目录，那么它默认只搜索当前目录下的文件，而不会搜索其下面子目录中的文件内容，如果想级联搜索下级目录，需要使用一个“-r”参数： grep -n -r "GET" .   上面的命令将会找出当前目录“.”及当前目录中所有下级目录
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    方法一：yii模块默认使用系统当前的主题布局文件，如果在主配置文件中配置了主题比如: 'theme'=>'mythm', 那么yii的模块就使用 protected/themes/mythm/views/layouts 下的布局文件； 如果未配置主题，那么 yii的模块就使用  protected/views/layouts 下的布局文件， 总之默认不是使用自身目录 pr
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