小米OJ 有多少个公差为 2 的等差数列【思维】

序号：#31
难度：有挑战
时间限制：1000ms
内存限制：10M

描述

给出一个正整数N（2<= N <=10000000），统计有多少公差为2的正整数等差数列，使得数列的和为N。

举例： 正整数 15，可以写为 15 和 3,5,7 两个等差数列。 其中 15 自身就是一个等差数列，3+5+7=15 也是一个符合条件的等差数列，所以输出为 2，表示有两个符合条件的等差数列。

请注意时间复杂度限制

输入

一个正整数，表示等差数列中所有数的和，范围为 [2, 10000000]

输出

一个正整数，表示可以找到多少符合条件的正整数等差数列。 (由于一个数字也可以算做等差数列，所以输出至少为1)

输入样例

15
30
50

输出样例

2
4
3

分析：
本题还不错，本来自己想了一种方法，看了下别人的代码，发现另一种解法，挺好。
两个思路，都是√n的复杂度

1. 反向枚举
   我们知道等差数列求和的的性质： 大概是 => “梯形面积的求法” = (上低 + 下低) * 高 / 2
   对于一个等差数列形如 ：$a_i,a_{i+1},....,a_j$

   ${\sum }_{a_i}^{a_j}=S=(a_i+a_j)\ast (j-i+1)/2,i<j<n$

   化简下为： $2\ast S=(a_i+a_j)\ast (j-i+1)$
   所以我们只需将 2 * S进行分解即可，这里的S为题目中的n
   这里也假设：
   $p=(a_i+a_j)，q=(j-i+1)$
   这里我们注意到 p 只能为偶数
   我们可以得到一个二元原方程组为：

   $a_i+a_j=p$
   $a_j-a_i=(q-1)\ast 2$

   解方程组可得 $a_j=p/2+(q-1)$
   又因为$a_i>0,只需要满足a_j存在即可$,即：$p>a_j=p/2+(q-1)$,
   即：$p/2>q-1$，
   总之只需满足
   $(1)p/2>q-1$
   $(2)p\%2==0$
   复杂度为$O(\sqrt{n})$

2. 正向构造：
   我们考虑n在[1,√n]内的所有因子，答案就是因子的个数
   比如n = 30的时候
   30 = 1 * 30 -> {30}
   30 = 2 * 15 -> {14,16}
   30 = 3 * 10 -> {8,10,12}
   30 = 5 * 6 -> {2,4,6,8,10}

   假设 n = p * q
   可以发现, 我们可以这样理解，
   p 代表集合的大小,
   q 代表集合中的平均数，可以保证肯定存在这样一个集合

   所以我们只需要枚举所有的因子即可，复杂度为$O(\sqrt{n})$
   第二种解法的确没想到，直接枚举即可。

参考代码

#include

/*
	第二种解法很简单，就不写了~~
*/

using namespace std;
int main(){
	int n;
	while (cin >> n) {
        int cnt = 0;
        n *= 2;
        int m = (int) sqrt(n + 0.5);
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            if (n % i == 0) {
                int p = i, q = n / i;
                if (q & 1) continue;
                if (q / 2 > p - 1) cnt++;
            }
        }
        cout << cnt << endl;
	}
    return 0;
}