gcd以及ex_gcd的总结
gcd()---表示最大公约数，常用方法是欧几里得算法
ex_gcd()---表示扩展欧几里得算法
定义1：a和b是两个不全为0的整数，称a与b的公因子中最大的为a和b的最大公约数，用gcd(a,b)来表示。
定义2：a和b是两个非0的整数，称a与b的公倍数中最小的为a和b的最小公倍数，用lcm(a,b)来表示。
最小公倍数与最大公约数之间的性质：
1、若a|m,b|m,那么lcm(a,b)|m
2、若d|a，d|b，则d|gcd(a,b)
3、lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b
4、设m，a，b是正整数，则lcm(ma,mb)=m*gcd(a,b)
5、若m是非0整数，a1,a2……an的公倍数，则lcm(a1,a2……an)|m
6、整数a和b素因子分解成a=p1^(r1)*p2^(r2)……pn^(rn),b=p1^(s1)*p2^(s2)……pn^(sn),在这儿·pi是不同的素数
gcd(a,b)=p1^min(r1,s1)*p2^min(r2,s2)*……pn^min(rn,sn)
lcm(a,b)=p1^max(r1,s1)*p2^max(r2,s2)*……pn^max(rn,sn)
gcd的求解思路----辗转相除法
递归求解
int gcd(int m,int n)
{
if(n==0)
return m;
else
return gcd(n,m%n);
}迭代求解
int gcd(int m,int n)
{
int temp;
if(mHDU1222
题目连接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1222
题意：假设步长是m 总长度是N, 这里首先我们计算出他们的周期，也就是最小公倍数，当过了这个周期，狼搜索的点肯定重复了！
因为狼每走一次肯定是搜索了一个点，搜索完n个点的时候，走的长度正好是这个周期，说明他没有重复的搜索了N个点！这就转化到gcd
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
/*
int gcd(int m,int n)
{
int temp;
if(m 题目连接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1108
题意：很简单，就是求最小公倍数，利用性质3就可以
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
else
return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
int a,b;
int k;
while(cin>>a>>b)
{
k=a*b/gcd(a,b);
cout< 扩展欧几里得算法：
long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
long long r=ex_gcd(b,a%b,x,y);
long long t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}HDU4180
题目连接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4180
题意： 给出分数(a/b)求另一个分数(c/d){d < b),且满足fabs(a/b - c/d)最小。 ab互质时 最小时满足 bc+1 = ad || bc = ad+1，正符合扩展欧几里得。求出两个d后比较。
#include
#include
using namespace std;
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=ex_gcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}
int main()
{
int t;
cin>>t;
int a,b;
int x,y;
while(t--)
{
scanf("%d/%d",&a,&b);
int gcd=ex_gcd(a,b,x,y);
if(gcd!=1)
{
printf("%d/%d\n",a/gcd,b/gcd);
continue;//这儿必须要写啊 不然会wa的
}
if(a==1)
{
printf("%d/%d\n",a,b-1);
continue;
}
int c1=(-y+a)%a;
int c2=(y+a)%a;
int d1=(x+b)%b;
int d2=(-x+b)%b;
if(d1 POJ1061
题目连接：http://poj.org/problem?id=1061
题意：两只青蛙跳了t步，A的坐标为x+m*t，B的坐标为y+n*t，他们相遇的条件为：x+m*t-y-n*t=p*L，即得到：（n-m）*t+L*p=（x-y）
这时求最小的t就是解一次同余方程（n-m）*t+L*p=（x-y）的最小整数解
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
long long gcd(long long a,long long b)
{
if(!b)return a;
else return gcd(b,a%b);
}
void ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return ;
}
ex_gcd(b,a%b,x,y);
long long t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
}
int main()
{
long long x,y,m,n,l;
long long k1,k2;
long long t;
long long a,b,c,g;
while(cin>>x>>y>>m>>n>>l)
{
a=n-m;
b=l;
c=x-y;
g=gcd(a,b);
if(c%g)
{
cout<<"Impossible"< 扩展欧几里得算法应用比较广泛，很多算法都用到了它，比如说同余问题等等
欧几里得算法比较适合于__int64范围内数，但是对于很大的数就不适合了，在这儿介绍一种适合大数的求最大公约数的算法，它的名字就是Stein算法，它是对欧几里得算法的一种改进，适合超过64位的整数，它只有移位和加法操作，它的算法思想就是
gcd(a,a)=a, gcd(k*a,k*b)=k*gcd(a,b)
当k与b互素时，gcd(k*a,b)=gcd(a,b);
算法步骤：
1、如果a=b,那么a或者b是最大公约数，算法结束
2、如果a=0，b是最大公约数，算法结束
3、如果b=0，a是最大公约数，算法结束
4、设置a[1]=a，b[1]=b和c[1]=1
5、如果a[n]和b[n]都是偶数，则a[n+1]=a[n]/2,b[n+1]=b[n]/2,c[n+1]=c[n]*2
6、如果a[n]是偶数，b[n]不是，则a[n+1]=a[n]/2,b[n+1]=b[n],c[n+1]=c[n]
7、如果b[n]是偶数，a[n]不是，则a[n+1]=a[n],b[n+1]=b[n]/2,c[n+1]=c[n]
8、如果a[n]和b[n]都不是偶数，则a[n+1]=abs（a[n]-b[n]）/2,b[n+1]=min（a[n],b[n]）,c[n+1]=c[n]
9、n++,转到1
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
__int64 Stein(__int64 a,__int64 b)
{
if(a>a>>b)
{
cout<