信号与系统难点之采样正弦信号的获取问题

在学到采样定理时，我们都知道当采样频率fs大于或等于信号中最高频率fmax的2倍时(fs>=2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，要是不满足上述关系，则采样的之后的数字信号会发生混叠现象导致无法完整的保留原始信号中的信息，但是特殊的我们发现对于采样正弦信号的获取，其实在满足或者不满足上述采样定理的内容时也都可以获得相同的离散时间正弦信号，以上特殊性的存在用问题描述就为：
“该采样离散正弦信号可由一个连续正弦信号由无穷个采样周期获得，也可由无穷个连续正弦信号由1个采样周期获得”其中包括在无混叠情况只有一种，在有混叠情况下有无穷多种
还是以例子说明：
考虑离散余弦信号cos（πn/4 ）
①如果要获取cos（πn/4 ）这个离散余弦信号，当在指定采样频率为1000Hz时即T=1/1000s，求可由多少个不同连续信号获取，并写出其中两个结果；（假设原来连续信号是cos（wt））
根据上述结论我们知道这是有无穷多个，但写出两个结果的话我们只考虑最小的那两个。下面是分析过程：
我们知道cos（πn/4 ）=cos（2πkn±πn/4 ）=cos{（2kπ±π/4 ）n}（这是根据数学三角函数的知识）
另外我们也知道其实采样就是t=Tn
即cos（wt）=cos（wnT）即
cos（wnT）=cos{（2kπ±π/4 ）n}（k为任意整数，w即为原始连续信号的最高频率）
即wT=2kπ±π/4
又根据采样定理，当w 又ws=2π/T，则1/w>2/ws，两边乘上π，即π/w>2π/ws
即π/w>T
所以说当wT<π时，不发生混叠，即k=0时
即即wT=π/4即w为250π；
而当wT>π时，发生混叠，此时k的取值不同则有不同的w，但此处我们只取较小的，即当k=1时即wT=2π-π/4，则可得到w=1750π；
②要是当在指定原连续信号为cos（1000πt），求可由多少个不同采样率获取，并写出其中两个（假设采样周期为T）
其实过程合上述一样只是这次是定连续信号最高频率求采样周期T而已；
我们直接引用关键结论即wT=2kπ±π/4
此处w=1000π，
显然所以说当wT<π时，不发生混叠，即k=0时
即即wT=π/4即T为1/4000，即采样频率为4000Hz；
而当wT>π时，发生混叠，此时k的取值不同则有不同的T，但此处我们只取较小的，即当k=1时即wT=2π-π/4，则可得到T=7/4000，即采样频率为4000/7Hz；
综上，鉴于余弦信号的特殊性，其对混叠与无混叠这类现象无很大关联，对于其本质原因（非上述公式推导），其分析如下：

①获取cos（πn/4 ）这个离散余弦信号，当在指定采样频率为1000Hz时即T=1/1000s，可由无穷个不同连续信号获取：
②获取cos（πn/4 ）这个离散余弦信号，当在指定原连续信号为cos（1000πt），可由无穷个不同采样速率获取：
其实上述分析是一样的，那么我们就把它合起来，
首先我们知道cos(πn/4)的傅里叶变换为
π（detail（w-π/4）+detail（w+π/4））且周期为2π
（本来想画图的比较麻烦，大家此处就脑补一下）
然后我们又知道对时域的采样的对频域的周期延拓（当在连续信号的情况下延拓周期为Ws，当在离散信号的情况下由于频率归一化延拓周期为2π）。此处我们考虑在离散信号的情况下，即周期始终为2π：
那么当采样频率固定或者连续信号的频率固定时，其实周期2π都始终不变。那么为什么有无穷种，就是因为其在w=-π~+π处出现的w=±π/4，可能就是原来w=0处的搬移结果也可能是w=2π或者4π或者k2π处的搬移结果，所以就有无穷中。
哎，这后面的解释没有配合图片的话很难理解，大家可以先看公式的再慢慢理解，后面可能会再详细说明。

那么这里可能会有人问sin的也一样吗，其实是大部分都一样的只是我们知道
**sin（πn/4 ）=sin（2πkn-πn/4 ）=sin{（2kπ-π/4 ）n}**其中的±变成了-，所以这里有一些sin是无法实现，其它几乎一样，大家可以仔细思考下。