数理方程复习概要

数理方程复习概要

    许志奋

1 绪论：重点掌握两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简。

练习：化下列方程为标准型：

（提示：1，双曲型不要写成双曲线；2，的系数；3，双曲，椭圆，抛物型各如何作自变量变换）

（1）  （2）   （a为常数）  

（3）

2 波动方程的初值问题与行波法：重点掌握以下几个方面的问题

（1）能够推导并熟记一维波动方程的初值问题

解的D’Alembert公式：u(x,t)=，

练习： 1.(1)

（2）能够运用齐次化原理求解如下初值问题

其解的表达式为：

u(x,t)=

练习：. 4

其次，对于半无界弦的振动问题，要能够根据所给的定解条件，对自由项f(x,t) 以及初始数据φ(x), ψ(x)作适当的奇延拓( u (0,t)=0 )或偶延拓()，从而推出其解的表达式。具体见教材页。

练习：（i） 

（ii）

（3）还要注意只由端点所引起的振动，其解为右行波的情形，即注3.1.2及3.1.3的情形。

 

3 分离变量法:采用逐步深入的步骤，知道下列三种情况的处理

  （1）齐次方程齐，次边界条件。首先利用边界条件是确定特征函数系的，最后利用初始条件确定解的表达式中的常数的！

练习     

 

（2）非其次方程，齐次边界条件。首先利用其所对应的齐次方程，齐次边界条件来确定特征函数系，从而得其形式解

      或    

然后把自由项 f(x,t) 按照相应的特征函数系展开并代入到原方程中去，通过比较系数确定。

练习      

 

（3）非其次方程，非齐次边界条件。首先要把边界条件化为齐次的，这要通过适当的未知函数代换。通常是令 u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),其中v(x,t) 满足齐次边界条件，根据线性法容易得到w(x,t)。这样把u 的方程化为 v 的方程，它是齐次边界条件的。否则你无法确定特征函数系。

练习    

提示：在第三种情形下，要注意的一种稳定的非齐次问题，即教材中的注4.4.1，及例4.4.1的解法，通过一步函数代换，可以将方程以及边界条件同时化为齐次的！这也是经常要考查的内容。

 

 

4 调和方程与Green函数法：应掌握以下几个方面的知识点

（1）知道Green公式的推导,并且能够由Green公式借助Laplace方程的基本解推导出调和函数的基本积分表达式

 

	二     维	三       维
Green公式
Laplace方程的基本解
调和函数的基本积分表达式

     

（2）理解Green函数的意义及性质，并知道半空间以及球面上的Green函数，能够以此得出Dirichlet问题的解。

（i）半空间

三维，其Green函数为，因而可得出此方程解为

 

二维 ，其Green函数为，因而可得出此方程解为

 

（ii）球域上的Green函数的作法

三维，其其Green函数为，

其解的表达式 （4.4.7）

类似的可以得出二维圆域上Laplace方程Dirichlet 问题

的解为

（3）一般区域上Green函数的构造，例如，四分之一平面，上半球面。

（4）调和函数的平均值性质。

5 积分变换法：

 （1）首先要知道傅里叶变换及其逆变换公式

  与   

（2）几个重要公式，，

       

（3）掌握傅里叶变换的性质，尤其是位移性质以及微分性质，卷积性质，并能够利用傅里叶变换来求微分方程的解。

练习     习题5，1，4，5，7

 

 

 

 

   希望同学们能够牢固掌握上面所提到的知识点，最后祝大家考出好成绩！