CF1369D TediousLee 题解（树形DP+递推）

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个人认为是一道非常有意思的题，题意就不赘述了

首先，要发现这题的做法，必须要先打表找规律。可以自己在纸上用手捏出 $n\le 6$ 的数据

经过打表后，我们可以发现下面这个规律：

图稍微有点丑，见谅

这里其实很像树的最大独立集，我们可以用树形DP实现
设 $f[x][0]$ 为以 $x$ 为根的子树中，不选 $x$ 的情况下可以得到的最多的 claw 的数量。注意这里是 claw 的数量，不是染成黄色的节点数
同理，设 $f[x][1]$ 为选 $x$ 的情况下可以得到的最多的 claw 的数量。那么，转移方程就是：
$f[x][1]=\sum f[y][0]$，$f[x][0]=\sum \max (f[y][1],f[y][0])$，其中 $y$ 是 $x$ 的儿子

但是，$T\le 10^4,n\le 2\cdot 10^6$ 的数据范围并不允许。

根据上面的打表，相信你们一定会发现每一个级别对应着一个唯一的 RDB，又因为 $n\le 2\cdot 10^6$，所以我们可以用递推或者记忆化搜索实现（下面的 $f$ 跟上面的没有关系）

设 $f[i][1]$ 为在级别为 $i$ RGB 中，如果选上根节点时最多可以选出多少个 claw
同理 $f[i][0]$ 表示不选根节点时最多可以选出的 claw 的个数
转移方程：$f[i][1]=2\times f[i-2][0]+f[i-1][0]+1$
$f[i][0]=2\times \max (f[i-2][0],f[i-2][1])+\max (f[i-1][0],f[i-1][1])$

时间复杂度 $O(n)$

#include
#include
using namespace std;
const int Maxn=2000000+10,mod=1000000007;
int f[Maxn][2];
int n,m;
inline int read()
{
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return s*w;
}
int main()
{
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	int T=read();
	m=2;
	while(T--)
	{
		n=read();
		if(m<n)
		for(int i=m+1;i<=n;++i)
		{
			f[i][1]=((f[i-2][0]<<1)%mod+f[i-1][0]+1)%mod;
			int tmp=(max(f[i-2][0],f[i-2][1])<<1)%mod;
			f[i][0]=(tmp+max(f[i-1][0],f[i-1][1]))%mod;
		}
		m=max(n,m);
		int ans=max(f[n][0],f[n][1]);
		ans=(ans<<1)%mod;
		ans=(ans<<1)%mod; // 输出的时候记得乘以4！
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

好像还可以用矩乘做，后续可能会更新矩乘的做法