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a n s [ l , r ] = [ l , r ] ans[l,r]=[l,r] ans[l,r]=[l,r]区间乘积 ∗ ∏ p 出 现 在 区 间 中 的 质 因 数 中 p − 1 p *\prod_{p出现在区间中的质因数中}\frac {p-1}{p} ∗∏p出现在区间中的质因数中pp−1
对于这种出现过就加入的贡献,我们发现不能直接用原来的前缀和+差分的思路,对于这种问题有一个套路:
对于 i i i位置分出的一个质因数 p p p,记下它上一次出现的位置 l a s t [ p ] last[p] last[p].
就形成一个二维的点 ( l a s t [ p ] , i ) (last[p],i) (last[p],i),它的值是 p − 1 p \frac {p-1}p pp−1。
对于一个询问 [ l , r ] [l,r] [l,r],只有第一维 < l < l <l,且第二维在 l l l到 r r r之间的点的值会贡献到答案中。
所以相当于数第一维在 [ 1 , l − 1 ] [1,l-1] [1,l−1],第二维在 [ l , r ] [l,r] [l,r]的点的贡献之积。
用主席树很好维护。
Code:
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#define maxn 50005
#define maxp 50005*200
using namespace std;
inline void read(int &a){
char c;while(!isdigit(c=getchar()));
for(a=c-'0';isdigit(c=getchar());a=a*10+c-'0');
}
const int mod = 1000777;
int n,m,sum[maxn],inv[mod],last[mod];
int rt[maxn],lc[maxp],rc[maxp],val[maxp],tot;
vector<pair<int,int> >vec[maxn];
void insert(int &now,int l,int r,int pos,int w){
val[++tot]=1ll*max(1,val[now])*w%mod,lc[tot]=lc[now],rc[tot]=rc[now];
now=tot;
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid) insert(lc[now],l,mid,pos,w);
else insert(rc[now],mid+1,r,pos,w);
}
int query(int now,int l,int r,int x,int y){
if(!now) return 1;
if(x<=l&&r<=y) return val[now];
int mid=(l+r)>>1,ret=1;
if(x<=mid) ret=query(lc[now],l,mid,x,y);
if(y>mid) ret=1ll*ret*query(rc[now],mid+1,r,x,y)%mod;
return ret;
}
int main()
{
sum[0]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=2;i<mod;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
read(n),read(m);
for(int i=1,x;i<=n;i++){
read(x),sum[i]=1ll*sum[i-1]*x%mod;
for(int j=2;j*j<=x;j++) if(x%j==0){
vec[last[j]].push_back(make_pair(i,1ll*(j-1)*inv[j]%mod)),last[j]=i;
while(x%j==0) x/=j;
}
if(x>1) vec[last[x]].push_back(make_pair(i,1ll*(x-1)*inv[x]%mod)),last[x]=i;
}
for(int i=0;i<n;i++){
if(i) rt[i]=rt[i-1];
for(int j=vec[i].size()-1;j>=0;j--) insert(rt[i],1,n,vec[i][j].first,vec[i][j].second);
}
int l,r,ans=0;
while(m--){
read(l),read(r),l^=ans,r^=ans;
printf("%d\n",ans=1ll*sum[r]*inv[sum[l-1]]%mod*query(rt[l-1],1,n,l,r)%mod);
}
}