可持久化线段树（主席树）

可持久化线段树，又称主席树，是由不同版本的线段树组成的。这种线段树一般是权值线段树基于动态开点来实现的，可以返回到某个历史版本并在此基础上进行操作。可以用来求区间第$k$小问题。

如果想保存不同历史版本的线段树，肯定要对每一次操作都开一个节点。但这样的话，空间明显会爆。我们继续分析，每次操作只会修改一个叶节点，那么有许多节点都是与之前的版本重复的。所以，在公共部分，当前版本的线段树可以共用之前的节点。这样，空间复杂度就降到了$O(nlogn)$

建树

void ch(int &r1,int r2,int l,int r,int v){
    r1=++tot;
    tr[r1]=tr[r2];
    if(l==r){
        ++tr[r1].s;return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(v<=mid) ch(tr[r1].lc,tr[r2].lc,l,mid,v);
    else ch(tr[r1].rc,tr[r2].rc,mid+1,r,v);
    tr[r1].s=tr[tr[r1].lc].s+tr[tr[r1].rc].s;
}

$r1$为新树上的节点，$r2$为上一个版本树上的节点。

查询

int find(int r1,int r2,int l,int r,int v){
    if(l==r) return l;
    int mid=(l+r)/2;
    int tp=tr[tr[r2].lc].s-tr[tr[r1].lc].s;
    if(tp>=v) return find(tr[r1].lc,tr[r2].lc,l,mid,v);
    else return find(tr[r1].rc,tr[r2].rc,mid+1,r,v-tp);
}

维护$sum$值后，第$r$棵线段树的$sum$值减去第$l-1$棵线段树上的$sum$值就是区间$[l,r]$的$sum$值。再对区间$[l,r]$进行区间查询的时候，查询两个线段树作差即可。

区间第$k$小（模板）
给出一个序列，求区间$[l,r]$的第$k$小值。

模板题，直接上代码

code

#include
using namespace std;
int n,m,tot=0,a[200005],num[200005],rt[200005];
struct node{
    int lc,rc,s;
}tr[5000005];
void ch(int &r1,int r2,int l,int r,int v){
    r1=++tot;
    tr[r1]=tr[r2];
    if(l==r){
        ++tr[r1].s;return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(v<=mid) ch(tr[r1].lc,tr[r2].lc,l,mid,v);
    else ch(tr[r1].rc,tr[r2].rc,mid+1,r,v);
    tr[r1].s=tr[tr[r1].lc].s+tr[tr[r1].rc].s;
}
int find(int r1,int r2,int l,int r,int v){
    if(l==r) return l;
    int mid=(l+r)/2;
    int tp=tr[tr[r2].lc].s-tr[tr[r1].lc].s;
    if(tp>=v) return find(tr[r1].lc,tr[r2].lc,l,mid,v);
    else return find(tr[r1].rc,tr[r2].rc,mid+1,r,v-tp);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);num[i]=a[i];
    }
    sort(num+1,num+n+1);
    int gs=unique(num+1,num+n+1)-num-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=lower_bound(num+1,num+gs+1,a[i])-num;
        ch(rt[i],rt[i-1],1,n,a[i]);
    }
    for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        printf("%d\n",num[find(rt[x-1],rt[y],1,n,z)]);
    }
    return 0;
}