树的重心

看了几天树的重心的题目，也做了几个题，总结一下。

首先，定义一下重心，网上还有一种定义，效果一样，纯属个人理解。

节点重心的定义是：以这个点为根，那么所有的子树（不算整个树自身）的节点权值大小都不超过整个树大小的一半。

边权重心的定义是：以这个点为根，那么所有的子树（不算整个树自身）的边权值大小都不超过整个树大小的一半。

树的重心主要解决树中点对之间路径最短的问题。

借鉴范浩强blog里面的描述，树的节点重心的一个的性质：

1、树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。

这也是“道路修建”带来的启发。（证明：调整法）

2、把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。

3、把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

首先，最基础的求节点权值重心，一遍dfs即可。（POJ1655，SGU134）

其次，改变一条边的位置使树的直径最短，枚举每条变，求分开之后两棵子树边权重心连接。（可以优化成枚举直径） （TJU3750Building Roads）

最后，同样是改变一条边的位置使树的点对路径之和最小，枚举每条变，求分开之后两棵子树点权重心连接。

怎样求点对路径之和？将每条边被遍历的次数求出*w求和即可。Codeforces294E

///ACcode:tju 3750
#include
#include

const int NS=5010;
const int INF=1000000007;

int n,la,lb,y,ans,res,flag;
int a[NS],b[NS],c[NS],first[NS],second[NS],num[NS];
int head[NS],next[NS],to[NS],w[NS],top;

void add(int u,int v,int value)
{
    next[top]=head[u];
    to[top]=v,w[top]=value;
    head[u]=top++;
}

int Max(int a1,int a2)
{
    return a1>a2?a1:a2;
}

int Min(int a1,int a2)
{
    return a1m1)
            m2=m1,m1=t,id=e;
            else if (t>m2)
            m2=t;
        }
    }
    first[rt]=m1,second[rt]=m2,num[rt]=id;
    ans=Max(ans,m1+m2);
    return m1;
}

int dfs2(int rt,int fa,int va,int id)
{
    int e,s,t;
    if(id)
    {
      if (num[fa]!=rt) e=first[fa]+va;
      else e=second[fa]+va;
      if (e>first[rt]) first[rt]=e,num[rt]=fa;
      else if (e>second[rt]) second[rt]=e;
    }
    s=first[rt];
    for (int i=head[rt];i!=-1;i=next[i])
    {
        e=to[i];
        if (e!=fa)
        {
           t=dfs2(e,rt,w[i],1);
           s=Min(s,t);
        }
    }
    return s;
}

int main()
{
    int T,cas=0;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        top=0,res=INF;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for (int i=1;i