剑指Offer——JZ67.剪绳子【DP | 贪心】

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题解

动态规划：

• 对于任意 $n$，分解为 $f_1,f_2,f_3...f_k$。对于任意 $f_i,i\in [1,k]$ 继续拆分后，最后都是乘积关系，所以满足无后效性，可以使用动态规划解决。
• 设 $dp[i]$ 为长度为 $i$ 的绳子分解最大值。
• 那么状态转移方程： $dp[i]=max(dp[i],dp[i-j]\ast dp[j]),d\in [1,i/2]$

贪心：

• 其实很好发现：
  • $n<=3$ 的时候，不拆分是最好的，
  • $n==4$ 的时候，拆分|不拆分是一样的，
  • $n>=5$ 的时候，拆分是最好的。
• 那么也就是说，最后一定会拆分的结果一定是小于等于 $4$ 的。
• 对于 $4$，一定是拆分为 $2\ast 2$ 是最优解。
• 那么最后就是在 $2$ 和 $3$ 中选择。
• 当 $n>=5$ 时， $3\ast (n-3)>=2\ast (n-2)$，那么就尽可能的按 $3$ 分割。
• 最后剩下的如果是 $2$，就直接乘进去，如果是 $1$，那就取出一个 $3$ 组成 $2\ast 2$

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AC-Code

DP：

class Solution {
public:
    int cutRope(int number) {
        if(number < 2)    return 0;
        if(number == 2)    return 1;
        if(number == 3)    return 2;
        int *dp = new int[number + 1];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[1] = 1;    dp[2] = 2;    dp[3] = 3;
        for(int i = 4; i <= number; ++i) 
            for(int j = 1; j <= i / 2; ++j) 
                dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);
        int ans = dp[number];
        delete[] dp;
        return ans;
    }
};

贪心：

class Solution {
public:
    int cutRope(int number) {
        if(number < 2)    return 0;
        if(number == 2)    return 1;
        if(number == 3)    return 2;
        return number % 3 == 1 ? pow(3 , (number/3 - 1)) * 4 : pow(3, (number / 3)) * 2;
    }
};