集合覆盖问题——贪婪算法

1、问题抛出

快速选用最少的广播台覆盖需要的地市

states_needed = set(['mt','wa', 'or', 'id', 'nv', 'ut', 'ca', 'az'])
stations = {}
stations['kone'] = set(['id', 'nv', 'ut'])
stations['ktwo'] = set(['id', 'wa', 'mt'])
stations['kthree'] = set(['or', 'nv', 'ca'])
stations['kfour'] = set(['nv', 'ut'])
stations['kfive'] = set(['ca', 'az'])

2、思路

1） 最简单粗暴的想法是，直接对广播台进行排列组合，对比后选出最小的组合

当有n个广播台的时候，总共组合：
$$C_n^1+C_n^2+C_n^3+...+C_n^n$$
当 n 为奇数时可化简为: $(C_n^0+C_n^{\frac{n-1}{2}})\ast \frac{n+1}{4}\ast 2-C_n^0$
即 $[n-1+C_n^{\frac{n-1}{2}}\ast (n+1)]/2$

当 n 为偶数时可化简为: $(C_n^0+C_n^{\frac{n-2}{2}})\ast \frac{n}{4}\ast 2-C_n^0+C_n^{n/2}$
即 $[n-2+C_n^{\frac{n-2}{2}}\ast n+2C_n^{n/2}]/2$

可见其组合会随着n的增加迅速增长，肯定不是处理的好方式

2）近似求解

1.先选出一个广播台，即它覆盖最多的地市。即便这个广播覆盖部分有重复。
2.然后用该地市和需要的地市的集合做差集，
3.重复前两步，直到差集为空。

每查找覆盖面最广的广播站需要n次，最多查找n遍，所以最极端情况也仅需要 $n^2$ 次。

3、算法实现

def Tan(stations, needed):
    import copy
    states_needed = copy.deepcopy(needed)  # 保证不修改原数据
    final_stations = set()
    while states_needed:
        best_station = None
        states_covered = set()
        # 循环寻找覆盖面最广的广播站
        for station, states in stations.items():
            covered = states_needed & states  # & 交集 | 并集 - 差集 
            if len(covered) > len(states_covered):
                best_station = station
                states_covered = covered
        
        states_needed -= states_covered  # 差集
        final_stations.add(best_station) # 需要的广播站
    return final_stations

Tan(stations, states_needed)

结果

{'kthree', 'kfive', 'ktwo', 'kone'}

该算法可以快速找到近似解，在很多时候，并不需要最准确的答案，最接近准确的答案的解也是可接受的，且时间成本更低。