【数据结构与算法】 哈夫曼树——哈夫曼编码的一个实例

哈夫曼树和哈夫曼编码

哈夫曼树─即最优二叉树，带权路径长度最小的二叉树，经常应用于数据压缩。 在计算机信息处理中，“哈夫曼编码”是一种一致性编码法（又称“熵编码法”），用于数据的无损耗压缩。这一术语是指使用一张特殊的编码表将源字符（例如某文件中的一个符号）进行编码。这张编码表的特殊之处在于，它是根据每一个源字符出现的估算概率而建立起来的（出现概率高的字符使用较短的编码，反之出现概率低的则使用较长的编码，这便使编码之后的字符串的平均期望长度降低，从而达到无损压缩数据的目的）。这种方法是由David.A.Huffman发展起来的。 

树的带权路径长度记为

WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)

，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

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哈夫曼编码步骤：

一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）
二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
四、重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：

虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的新树升序方式放到剩下的集合中。1、2两棵树删除，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：

集合变成{6,5,4}。再依次建立哈夫曼树，取4和5，再取6和9，如下图：

其中各个权值替换对应的字符即为下图：

左子树0 右子树1.ABCDE一定是叶子结点，所对应的哈弗曼编码就是从根节点“读”下来。 所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

哈夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩，加密解密等场合。

说到这里我要插一句：

A,B,C,D,E五个字符，由于计算机只能识别0，1，所以可以用 0 1 10 11 100 来表示，然而仅仅这样是不行的，并不能区分。

----我来举个例子说明为什么不能区分：随便写一段：111001011. 解码可能就成为AAABBABAA。仔细想想应该就懂了。

所以，若要区分，可以使用定长操作码，就是每条需要3位（ABCDE则对应000,001,010,011,100）。每个字符都需要3位这无疑是一种浪费（2^3=8，3位可以表示8种数据 ，还有3条没有作用），如何进行优化呢？便有了哈夫曼编码。

还是这道题，我们用数字对比一下哈夫曼编码的作用。

上面算出来的结果是：ABCDE分别对应11,10,00,011,010.这是可以区分的。

----我同样来举个例子说明为什么能区分：随便写一段：111001011。解码就是：ABEA。这是必然的。

所以，我们不需要用每条3位去编码了，我们来计算一下节省了多少位。

假如ABCDE是共有1000条指令，根据他们的权值（5，4，3，2，1）计算他们的频率为（5/15，4/15，3/15，2/15，1/15）。

计算得在这1000条中， A大约有333条，B大约有266条，C大约有200条，D大约有133条，E大约有66条。（血崩！！我为什么不找个好计算一点的例子）

而上面刚求出的ABCDE所占位数分别为（2，2，2，3，3），计算总位数为2*333＋2＊266+2*200+3*133+3*66=2195 

看见了吧！ 2195<3000(3*1000) 效果还是很明显滴～

C语言代码实现（代码来源于网络）：

/*-------------------------------------------------------------------------

 * Name:   哈夫曼编码源代码。

 * Date:   2011.04.16

 * Author: Jeffrey Hill+Jezze(解码部分)

 * 在 Win-TC 下测试通过

 * 实现过程：着先通过 HuffmanTree() 函数构造哈夫曼树，然后在主函数 main()中

 *           自底向上开始(也就是从数组序号为零的结点开始)向上层层判断，若在

 *           父结点左侧，则置码为 0,若在右侧,则置码为 1。最后输出生成的编码。

 *------------------------------------------------------------------------*/

#include 

#include

#define MAXBIT      100

#define MAXVALUE  10000

#define MAXLEAF     30

#define MAXNODE    MAXLEAF*2 -1

typedef struct 

{

    int bit[MAXBIT];

    int start;

} HCodeType;        /* 编码结构体 */

typedef struct

{

    int weight;

    int parent;

    int lchild;

    int rchild;

    int value;

} HNodeType;        /* 结点结构体 */

/* 构造一颗哈夫曼树 */

void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE],  int n)

{ 

    /* i、j： 循环变量，m1、m2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点的权值，

        x1、x2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点在数组中的序号。*/

    int i, j, m1, m2, x1, x2;

    /* 初始化存放哈夫曼树数组 HuffNode[] 中的结点 */

    for (i=0; i<2*n-1; i++)

    {

        HuffNode[i].weight = 0;//权值 

        HuffNode[i].parent =-1;

        HuffNode[i].lchild =-1;

        HuffNode[i].rchild =-1;

        HuffNode[i].value=i; //实际值，可根据情况替换为字母  

    } /* end for */

    /* 输入 n 个叶子结点的权值 */

    for (i=0; i 
    
    {
 
    
        printf ("Please input weight of leaf node %d: \n", i);
 
    
        scanf ("%d", &HuffNode[i].weight);
 
    
    } /* end for */
 
    
 
 
    
    /* 循环构造 Huffman 树 */
 
    
    for (i=0; i 
    
    {
 
    
        m1=m2=MAXVALUE;     /* m1、m2中存放两个无父结点且结点权值最小的两个结点 */
 
    
        x1=x2=0;
 
    
        /* 找出所有结点中权值最小、无父结点的两个结点，并合并之为一颗二叉树 */
 
    
        for (j=0; j 
    
        {
 
    
            if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1)
 
    
            {
 
    
                m2=m1; 
 
    
                x2=x1; 
 
    
                m1=HuffNode[j].weight;
 
    
                x1=j;
 
    
            }
 
    
            else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)
 
    
            {
 
    
                m2=HuffNode[j].weight;
 
    
                x2=j;
 
    
            }
 
    
        } /* end for */
 
    
            /* 设置找到的两个子结点 x1、x2 的父结点信息 */
 
    
        HuffNode[x1].parent  = n+i;
 
    
        HuffNode[x2].parent  = n+i;
 
    
        HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;
 
    
        HuffNode[n+i].lchild = x1;
 
    
        HuffNode[n+i].rchild = x2;
 
    
 
 
    
        printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1, HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight);  /* 用于测试 */
 
    
        printf ("\n");
 
    
    } /* end for */
 
    
  /*  for(i=0;i
 
    
    {
 
    
        printf(" Parents:%d,lchild:%d,rchild:%d,value:%d,weight:%d\n",HuffNode[i].parent,HuffNode[i].lchild,HuffNode[i].rchild,HuffNode[i].value,HuffNode[i].weight);
 
    
                  }*///测试 
 
    
} /* end HuffmanTree */
 
    
 
 
    
//解码 
 
    
void decodeing(char string[],HNodeType Buf[],int Num)
 
    
{
 
    
  int i,tmp=0,code[1024];
 
    
  int m=2*Num-1;
 
    
  char *nump;
 
    
  char num[1024];
 
    
  for(i=0;istring);i++)
 
    
  {
 
    
   if(string[i]=='0')
 
    
  num[i]=0;        
 
    
  else
 
    
  num[i]=1;                    
 
    
  } 
 
    
  i=0;
 
    
  nump=&num[0];
 
    
  
 
    
 while(nump<(&num[strlen(string)]))
 
    
 {tmp=m-1;
 
    
  while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1))
 
    
  {
 
    
  
 
    
   if(*nump==0)
 
    
   {
 
    
     tmp=Buf[tmp].lchild ;          
 
    
   } 
 
    
   else tmp=Buf[tmp].rchild;
 
    
   nump++;
 
    
        
 
    
  } 
 
    
  
 
    
  printf("%d",Buf[tmp].value);                                  
 
    
 }
 
    
 
 
    
  
 
    
}
 
    
 
 
    
 
 
    
int main(void)
 
    
{
 
    
    
 
    
    HNodeType HuffNode[MAXNODE];            /* 定义一个结点结构体数组 */
 
    
    HCodeType HuffCode[MAXLEAF],  cd;       /* 定义一个编码结构体数组， 同时定义一个临时变量来存放求解编码时的信息 */
 
    
    int i, j, c, p, n;
 
    
    char pp[100];
 
    
    printf ("Please input n:\n");
 
    
    scanf ("%d", &n);
 
    
    HuffmanTree (HuffNode, n);
 
    
   
 
    
    
 
    
    for (i=0; i < n; i++)
 
    
    {
 
    
        cd.start = n-1;
 
    
        c = i;
 
    
        p = HuffNode[c].parent;
 
    
        while (p != -1)   /* 父结点存在 */
 
    
        {
 
    
            if (HuffNode[p].lchild == c)
 
    
                cd.bit[cd.start] = 0;
 
    
            else
 
    
                cd.bit[cd.start] = 1;
 
    
            cd.start--;        /* 求编码的低一位 */
 
    
            c=p;                    
 
    
            p=HuffNode[c].parent;    /* 设置下一循环条件 */
 
    
        } /* end while */
 
    
        
 
    
        /* 保存求出的每个叶结点的哈夫曼编码和编码的起始位 */
 
    
        for (j=cd.start+1; j 
    
        { HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];}
 
    
        HuffCode[i].start = cd.start;
 
    
    } /* end for */
 
    
    
 
    
    /* 输出已保存好的所有存在编码的哈夫曼编码 */
 
    
    for (i=0; i 
    
    {
 
    
        printf ("%d 's Huffman code is: ", i);
 
    
        for (j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++)
 
    
        {
 
    
            printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);
 
    
        }
 
    
        printf(" start:%d",HuffCode[i].start);
 
    
       
 
    
        printf ("\n");
 
    
        
 
    
    }
 
    
/*    for(i=0;i
 
    
    for(j=0;j
 
    
        {
 
    
             printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);           
 
    
        }
 
    
        printf("\n");
 
    
        }*/
 
    
    printf("Decoding?Please Enter code:\n");
 
    
    scanf("%s",&pp);
 
    
decodeing(pp,HuffNode,n);
 
    
    getch();
 
    
    return 0;
 
    
}
 
    
 
     
 
    
 
   

图片案例  转载自：http://www.cnblogs.com/Jezze/archive/2011/12/23/2299884.html