2020.06.26日常总结

$$\text{UVA11039 Building Designing}$$

$\text{[Problem]}$

• 有 $n$ 个绝对值不相等的非 $0$ 整数，选出尽可能多的数，使得它们可以排成一个正负号交替，绝对值递增的序列。给定 $n$ 和该序列，输出最长的符合条件序列的长度。
• 序列中元素不一定要按照输入顺序排列。$1\le n\le 5\times 10^5$。

$\text{[Soluntion]}$

贪心。

直接将原数据按绝对值从小到大排序，然后把第一个数给选了，再枚举，如果当前数的符号和上一个选的数的符号相反，就把它给选了。

下面是个人的证明，各位 dalao 不想看就不看了。

假设我们现在在考虑第 $i$ 个元素选或不选，有两种情况：

• $i$ 不能选。

  因为我们已经将原序列按绝对值从小到大排序了，所以不存在说第 $i$ 个数因为绝对值小于前一个选择的数而不能选的情况。那么就只剩下一种情况了：那就是 $i$ 和前一个被现在的数的符号相同。

  既然两个数符号相同，那么必然是有我不能有你，有你不能有我，可以用 $i$ 替代前一个数，但是没必要，毕竟答案是不变的，没必要给自己增加麻烦。

  综上：当 $i$ 不能选时，不选。

• $i$ 可以选。

  可能大家会有个这样的担心，会不会答案中 $i$ 是不选的，但是我们却误认为 $i$ 是可以选的呢？

  答案是否定的。为什么呢？第一，因为绝对值比 $i$ 小的数我们都已经考虑到了，现在我们就不考虑了。第二，如果 $i$ 不选，必然会有另一个数 $j$ 来代替 $i$（否则 $i$ 就是最后一个数，直接选更优）。

  根据第一，$|j|>|i|$，既然 $i$ 和 $j$ 也是有其一无其二，那么我们选一个绝对值小的元素给后面的选择可以留下更大的空间。

  综上：当 $i$ 可以选时，必须选。

$\text{[code]}$

#define gc getchar()
#define g(c) isdigit(c)
inline int read(){
	char c=0;int x=0;bool f=0;
	while (!g(c)) f=c=='-',c=gc;
	while (g(c)) x=x*10+c-48,c=gc;
	return f?-x:x;
}
const int N=5e5+100;
int a[N],ans,n,test_number;
inline bool cmp(int x,int y){
	return abs(x)<abs(y);
}
inline bool check(int f,int l){
	if (a[f]/abs(a[f])==a[l]/abs(a[l]))
		return false;//符号不相反，不符合题意 
	else return true;//已经排序不用考虑绝对值 
}
int main(){
	test_number=read();//组数 
	while (test_number--){
		ans=1;n=read();//输入加上初始化 
		for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
		sort(a+1,a+n+1,cmp);//按绝对值排序 
		for(register int i=2,lst=1;i<=n;i++)
			if (check(i,lst)){ans++;lst=i;}
		printf("%d\n",ans);//输出答案 
	}
}