线性代数总结

线性代数总结

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一、矩阵快速幂的常用技巧

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1、上三角优化。

假设矩阵为上三角矩阵，那么我们的枚举顺序可以优化：

这是原来的：$FOR(i,1,n)FOR(j,1,n)FOR(k,1,n)$

现在：$FOR(i,1,n)FOR(j,i,n)FOR(k,i,j)$

$\frac{1}{6}$的常数优化，很给力。

2、答案的向量优化。

多次题目的时候，矩阵快速幂的时间复杂度为$O(T{n}^{3}logn)$

当矩阵固定时：

如果答案为一个行向量，则预处理$2^i$次幂。由于矩阵的结合律，我们可以维护该行向量，这样只需要$O(n^{2}logn)$做一次回答。

3、累加贡献的矩阵。

如果是矩阵前缀和的形式：${\sum }_{i=1}^n{B}^i$ ，可以把矩阵扩域达到此目的。

构造方法如下：

构造$T=\left\{\begin{array}{cc}A& I\\ 0& I\end{array}\right\}$

此时$T$做$n+1$次前缀和，右上角的元素即为前缀和。

拓展：

右上角的$I$可以换成列向量。

的话累计贡献就变成了相应的值。

典型例题：【清华集训】恐怖的奴隶主。

对于一个列向量$[p1,p2...pn]$表示状态为$1..n$时的贡献，则顺次相乘的累计结果恰好就是一次矩乘的贡献。

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二、一些矩阵操作

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矩阵的行列式

$|A|={\sum }_P(-1{)}^{d(P)}{\prod }_{i=1}^{n}A[i][pi]$

$d(P)$为逆序对数。

一个神奇性质：$|AB|=|A||B|$

逆矩阵

A可逆

<=> $|A|\ne 0$

<=> $r(A)=n$

<=> 齐次线性方程组$AX=0$ 仅有零解

<=> 非齐次线性方程组$AX=b $有唯一解

<=> A的特征值不为0

矩阵的迹：$tr(A)$

主对角线元素和。

方程如果存在0系数行，常数项$>0$，则方程无解。

否则方程有无数解。

矩阵的秩：$r(A)$

表示线性无关的横行的极大数目。

齐次线性方程组

常数项全为$0$的方程组。

若$r(A)<n$，则方程有无数非$0$解。

否则，方程为全$0$解。

特征值和特征向量

通俗来讲，为一个向量$u$经过矩阵$A$坐标转换后对应的向量与其本身相比方向不变，是其某个倍数。这种向量$u$即为$A$的特征向量，倍数为特征值（特征值可以为0）。

特征值可能有多解。

也就是$Au=\lambda u$.

即$(A-\lambda I)u=0$

特征向量有非零解，即$(A-\lambda I)u=0$有非零解，即$r<n$，也即$det((A-\lambda I)u)=0$

特征值的求解方法：

上三角矩阵为对角线上的$n$个元素。

特征值的性质：相加等于矩阵的迹，相乘等于行列式。

注意，特征值的求法不是将矩阵消成上三角矩阵后直接继承对角矩阵！

特征向量的求解方法：

由于我们只需要让其满足“非0解”这一个条件，所以在特定条件下可以做到单次$O(n^2)$的复杂度：
当矩阵为上三角矩阵，且主对角线上元素互不相等时，可以得到：
对于每一个$B=(A-{\lambda }_{i}I)$,其$r(B)=n-1$，必然存在非0解。故我们从大到小枚举，第$i$位的值可以由$({\sum }_{j>i}b[i][j])/b[i][i]$得到。当$b[i][i]$等于0时，把其设为$1$即可。（必然只有一个）
经典例题：20200201 snow

性质：$A^m$的特征值即为$A$的特征值的$m$次。

相似矩阵：

定义：如果存在可逆矩阵$P$，满足$P^{-1}AP=B$，则$A、B$相似。

相似矩阵的性质：

1.$A$和$B$具有相同的特征值，特征多项式。但是没有相同的特征向量。

2.$A$和$B$有相等的秩、迹、行列式。

主要用于缩小矩阵规模，用对角矩阵代替原矩阵。

设$\lambda 1,\lambda 2...\lambda n$为$B$的n个特征值，$(x1,x2...xn)$为其对应的特征向量，则：

$A$=$diag(\lambda 1,\lambda 2...\lambda n)$（对角矩阵）

$P$为$(x1,x2,...xn)$.

证明：

由定义来推，$BP=PA$

$B=P^{-1}AP$

这样大大简化了运算，因为对角矩阵的乘法等于对应位置相乘。

四、易错点

1、注意矩阵没有交换律！