模板之数论大全1

1.扩展的欧几里德定理

//拓展欧几里得定理，求ax+by=gcd(a,b)的一组解(x,y),d=gcd(a,b)
void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else{gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}

用法1：

求ax+by=c的整数解。ax+by=gcd(a,b)=g的一组解为(x0,y0),则ax+by=c的一组解为(x0*c/g,y0*c/g)。当c不是g的倍数时无整数解

若(x1,y1)是ax+by=c的一组解，则其任意整数解为(x1+k*bb,y1-k*aa)，其中aa=a/gcd(a,b),bb=b/gcd(bb)，k为任意整数

2.求模乘法的逆

//求得a在模n条件下的逆
int inv(int a,int n)
{
   int d,x,y;
   gcd(a,n,d,x,y);
   return d==1?(x+n)%n:-1;
}

或则：

v=pow_mod(a,n-m-1,n);//n为素数，pow_mod(a,n-1,n)=1,费马小定理。所以a^m*a^(n-m-1)=a^(n-1)=1(mod n).

3.快速幂求解a^b

//快速幂求a^b
int pow_mod(int a,int b)
{
    int s=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            s=(s*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b=b>>1;
    }
    return s;
}

4.求解模方程a^x=b(mod n)。

1.n为素数。无解返回-1

//求解模方程a^x=b(mod n)。n为素数，无解返回-1
int log_mod (int a,int b,int n)
{
    int m,v,e=1,i;
    m=ceil(sqrt(n+0.5));
    v=inv(pow_mod(a,m),n);
    mapx;
    x[1]=0;
    for(i=1;i

2.n不是素数。

//hdu 2815 Mod Tree
#include 
#include 
#include 
#include 

5.中国剩余定理

互质情况

//中国剩余定理，求得M%A=a,M%B=b,...中的M，其中A,B,C...互质  
int china(int a[])
{  
    int i,j,k,d,ans=0,x,y,M=1;
    for(i=0;i

不互质的情况

int China(int n)  
{  
    int m1,r1,m2,r2,flag=0,i,d,x,y,c,t;  
    scanf("%d%d",&m1,&r1);  
    flag=0;  
    for(i=1;i

6.素数

普通筛选法

const int maxn=10000001;
const int maxc=700000;
int vis[maxn];//vis[i]=0时，i为素数或者1，否则为合数
int prime[maxc];
//筛素数
void sieve(int n)
{
    int m=(int)sqrt(n+0.5);//避免浮点误差
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<=m;i++)if(!vis[i])
        for(int j=i*i;j<=n;j+=i)vis[j]=1;
}
//生成素数表,存在prime数组中，返回素数个数
int primes(int n)
{
    sieve(n);
    int t=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)if(!vis[i])
        prime[t++]=i;
    return t;
}

线性筛法

：在O（n）时间复杂度内找出所有的素数

void init()//预处理，找出所有1e7以内的素数，以减少查找1e14范围数的因子的时间  
{           //现行筛素数的方法，时间复杂度为O(n)  
    memset(check,false,sizeof(check));  
    int i,j;  
    tot=0;  
    for(i=2;i<=1e7;i++)  
    {  
        if(!check[i])prime[tot++]=i;  
        for(j=0;j1e7)break;  
            check[i*prime[j]]=true;  
            if(i%prime[j]==0)break;  
        }  
    }  
    //printf("%d\n",tot);  
    //for(i=0;i<20;i++)  
    //    printf("prime[%d]:%d\n",i,prime[i]);  
} 

7.欧拉phi函数

，求不超过n且与n互质的正整数个数

int euler_phi(int n)//求单个欧拉函数
{
    int m=(int)sqrt(n+0.5);
    int i,ans=n;
    for(i=2;i<=m;i++)
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

int phi[maxn];  
void euler_phi()  
{  
    int i,j,k;  
    //欧拉函数，phi[i]表示不超过i的与i互质的整数个数  
    for(i=2;i

8.求三角形两边向量积

，面积S=1/2*|a×b|

int cross(node a,node b,node c)//向量积
{
    return (a.x-c.x)*(b.y-c.y)-(b.x-c.x)*(a.y-c.y);//向量ac×bc
}

9.求凸包

，res数组存凸包上的点。

int convex(int n)
{
    sort(e,e+n,cmp);//根据x从小到大排序，x相等时根据y从小到大排序
    int m=0,i,j,k;
    //求得下凸包，逆时针
    for(i=0;i1&&cross(res[m-1],e[i],res[m-2])<=0)m--;
        res[m++]=e[i];
    }
    k=m;
    //求得上凸包
    for(i=n-2;i>=0;i--)
    {
        while(m>k&&cross(res[m-1],e[i],res[m-2])<=0)m--;
        res[m++]=e[i];
    }
    if(n>1)m--;//起始点重复。
    return m;//返回凸包边界结点数。
}

10.三分法

for(i=0;i<100;i++)
{
    m1=l+(r-l)/3;
    m2=r-(r-l)/3;
    if(find(m1)