题意
给定一棵 \(n\) 个节点的树，可以断掉一条边再连接任意两个点，询问新构成的树的直径的最小和最大值。
\(n\leq 5\times 10^5\) .
分析
记断掉一条边之后两棵树的直径为 \(A,B\) ，最长直径为 \(A+B+1\) 最短为 \(\max\{A\ ,B\ ,\lceil \frac{A}{2}\rceil+\lceil \frac{B}{2} \rceil +1\}\) .
维护每个点不同子树的前3长链和向上的最长链、不同子树的前2长路径和向上子树的最长路径。
这样枚举断掉一条边之后换根 \(dp\) 一下就可以求得父节点所在树的直径了。
方案可以按照 \(dfs\) 找树的直径的方式构造答案。
总时间复杂度为 \(O(n)\) 。
换根dp可以解决树断一条边以及不同根询问等问题。
代码
#include
using namespace std;
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].last,v=e[i].to)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define pb push_back
#define re(x) memset(x,0,sizeof x)
typedef long long LL;
inline int gi(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
templateinline bool Max(T &a,T b){return ainline bool Min(T &a,T b){return by;}
void dfs1(int u,int fa){
go(u)if(v^fa){
dfs1(v,u);
int x=fu[v];
if(x>g1[u][0]) g1[u][1]=g1[u][0],g1[u][0]=x;
else if(x>g1[u][1]) g1[u][1]=x;
x=f1[v][0]+1;
if(x>f1[u][0]) f1[u][2]=f1[u][1],f1[u][1]=f1[u][0],f1[u][0]=x;
else if(x>f1[u][1]) f1[u][2]=f1[u][1],f1[u][1]=x;
else if(x>f1[u][2]) f1[u][2]=x;
}
fu[u]=max(g1[u][0],f1[u][0]+f1[u][1]);
}
void dfs2(int u,int fa){
for(int i=0;i<3;++i) f[u][i]=f1[u][i];f[u][3]=f2[u];sort(f[u],f[u]+4,cmp);
for(int i=0;i<2;++i) g[u][i]=g1[u][i];g[u][2]=g2[u];sort(g[u],g[u]+3,cmp);
go(u)if(v^fa){
int x=0,cnt=0;
for(int j=0,fg=0;j<4;++j){
if(f[u][j]==f1[v][0]+1&&!fg){fg=1;continue;}
x=f[u][j]; break;
}
f2[v]=x+1,x=0;
for(int j=0,fg=0;j<4;++j){
if(f[u][j]==f1[v][0]+1&&!fg) {fg=1;continue;}
x+=f[u][j];if(++cnt==2) break;
}
for(int j=0,fg=0;j<3;++j){
if(g[u][j]==fu[v]&&!fg) {fg=1;continue;}
Max(x,g[u][j]);break;
}
g2[v]=x;
int tmp=max(max(x,fu[v]),(x+1)/2+(fu[v]+1)/2+1);
if(ans1>tmp) ans1=tmp,edg1=i;
tmp=(x+fu[v]+1);
if(ans2=mx) mx=dis,cho=u;
go(u)if(v^fa[u]&&!ban[i]) fa[v]=u,dfs(v,dis+1);
}
int main(){
n=gi();
rep(i,1,n-1) Add(gi(),gi());
dfs1(1,0); dfs2(1,0);
printf("%d %d %d",ans1,e[edg1].to,e[edg1^1].to);
ban[edg1]=ban[edg1^1]=1;
int x=e[edg1].to;dfs(x,0);
re(fa),x=cho,mx=0,dfs(x,0);tp=0;for(int i=cho;i;i=fa[i]) tmp[++tp]=i;printf(" %d",tmp[tp+1>>1]);
re(fa),x=e[edg1^1].to,mx=0,dfs(x,0);
re(fa),x=cho,mx=0,dfs(x,0);tp=0;for(int i=cho;i;i=fa[i]) tmp[++tp]=i;printf(" %d\n",tmp[tp+1>>1]);
printf("%d %d %d",ans2,e[edg2].to,e[edg2^1].to);
ban[edg1]=ban[edg1^1]=0,ban[edg2]=ban[edg2^1]=1;
re(fa),x=e[edg2].to,mx=0,dfs(x,0);printf(" %d",cho);
re(fa),x=e[edg2^1].to,mx=0,dfs(x,0);printf(" %d\n",cho);
return 0;
}